ここでは、局所的な運動量保存に本質的に基づく別のアプローチを用いて、渦糸の運動方程式を導くとともに、一般の渦糸に対する張力（tension）の概念を、一致（マッチド）漸近展開の手法で正当化する。扱いは Moore & Saffman (1972) の仕事に基づく。Fukumoto & Miyazaki (1991) は問題全体を一致漸近展開の観点から扱い，結果を確認している。
まず、渦糸の方程式を $\B{r} = \B{R}(\xi, t)$ とし，$\xi=const.$ の点が流体粒子の速度で動くものとする（その意味を以下で厳密にする）。最初に「自己誘起」速度 $\B{V}_I$ を以下の様に定義する。
$$
\begin{split}
\B{V}_I(\xi) = \ff{\G}{4\pi} \int \left\{ \B{s’}\times \ff{ \B{R}(\xi)-\B{R}(\xi’) }{|\B{R}(\xi)-\B{R}(\xi’)|^3}\diff s’-\B{s}_{\odot}\times \ff{\B{R}(\xi)-\B{R}_{\odot}}{| \B{R}(\xi)-\B{R}_{\odot} |^3}\,\diff s_{\odot} \right\}
\end{split} \qquad(1)
$$
ここに、添え字の $\odot$ は、位置 $\xi$ における渦糸の接触円（osculating circle）を表し、その方程式は $\B{r}=\B{R}_{\odot}(s_{\odot})$ である。明示的な時間依存は省略している。被積分関数の $\xi$ における特異性が相殺されるため、$\B{V}_I$ は有限にて一意に定まる。そして、他の速度場が無く、運動もすべて自己誘起速度場によると仮定する。このとき、以下の要請にて $\xi$ を一意に定められる。
$$
\begin{split}
\B{V}_I(\xi)\cdot \B{s} = \ff{\del \B{R}}{\del t} \cdot \B{s}
\end{split} \qquad(2)
$$
運動量収支を使う利点は，渦度方程式を直接解くよりも流れ場の詳細知識が少なくて済む点にある。具体的には、流体と渦糸の相対運動をこのように書くことにする。
$$
\begin{split}
\B{V}_I(\xi)-\ff{\del \B{R}}{\del t} = \B{Q}(\xi)
\end{split} \qquad(3)
$$
構成より $\mathbf{Q}\perp\mathbf{s}$ である。渦糸の微小要素 $\diff \xi$ を考えると、相対速度は渦糸に作用する単位長さ当たりの力として Kutta の揚力 $\Gamma(\mathbf{V}_I-\partial\mathbf{R}/\partial t)\times\mathbf{s}$ を生む、と主張でき，その大きさは $O(\Gamma^2/\rho)$ のオーダーである8。さらに，付加質量（apparent mass）の加速度項が $\DL{\ff{\partial}{\partial t}}{\pi a^2(\mathbf{V}_I-\partial\mathbf{R}/\partial t)}=O(\Gamma^2 a^2/\rho^3)$ のオーダーで現れる。ここでは、渦糸の運動はすべて自己誘起速度によって生じ、$\DL{\partial/\partial t=O(\Gamma/\rho^2)}$ と見積もる。また（§10.3 参照）渦糸の曲率により生じる力があり、それを $T_0\,\mathbf{n}/\rho$ と書く。するとこの力は Kutta 揚力と同程度で，これが渦糸の速度を支配する基本的な力の釣り合いであると考えることができて、渦糸表面に働く単位長さ当たりの力は
$$
\begin{split}
\G \left( \B{V}_I-\ff{\del \B{R}}{\del t} \right)\times \B{s}+T_0\ff{\B{n}}{\rho}
\end{split} \qquad(4)
$$
であると主張できる。以下ではこれを厳密に正当化し、Euler 方程式から $T_0$ を計算して、経験的に得た値 (10.3.29) と一致することを示す。
局所座標系と外部（コア外）解
$\B{n}, \B{b}$ の張る平面内に単位ベクトル $\B{i}, \B{j}$ を取る。そして、ある点 $P$ に対して $P$ から渦線の軸へ下ろした垂線の足を $\xi$ とする。このとき、$P$ の位置ベクトルは $\B{R}(\xi)+x\B{i}+y\B{j}$ と表示できる。
ここに、$\B{i}$ と $\B{n}$ の成す角を $\chi$ として、$\chi$ が $\DL{ \ff{\del \psi}{\del s}=\tau }$（$\tau$ は捩率）を満たすように変化するとき、この座標系は直交で、計量係数は
$$
\left\{
\begin{split}
&\, h_s = 1-\ff{x\cos\chi-y\sin\chi}{\rho} = 1-\ff{r\cos(\q+\chi)}{\rho} \EE
&\, h_x = 1 \EE
&\, h_y = 1
\end{split}
\right.
$$
となる。したがって、$r=\sqrt{x^2+y^2},\, \q=\tan^{-1} \DL{\ff{y}{x}}$ は $s=const.$ 一定の平面内の局所極座標系である。
コアの外では渦度が無いので速度ポテンシャル $\phi$ が存在する。$\phi = \phi_0+\phi_1+\cdots$ を $\DL{ \ff{a}{\rho} }$ の級数として展開して、$\phi_0 = \DL{ \ff{\G \q}{2\pi} }$ とする。Laplace 方程式に代入し、$r\sim a,\, s\sim\rho$ とスケールすると $\phi_1$ は以下を満たす。
$$
\begin{split}
\ff{\del^2 \phi_1}{\del r^2}+\ff{1}{r}\ff{\del \phi_1}{\del r}+\ff{1}{r^2}\ff{\del^2 \phi_1}{\del \q^2} = -\ff{\G}{2\pi \rho r}\sin(\q+\chi)
\end{split} \qquad(5)
$$
コア表面は先頭次数で円形であり $r=a_0(s)+a_1(s,\q)+\cdots$ と展開できる。中心の速度は $\DL{ \ff{\del \B{R}}{\del t} }$ である。すると、$r=a_0$ における内部境界条件は、
$$
\begin{split}
\ff{\del \phi_1}{\del r} = \ff{\del\B{R}}{\del t}\cdot \Big( \B{n}\cos(\q+\chi)+\B{b}\sin(\q+\chi) \Big)+\ff{\G}{2\pi a_0^2}\ff{\del a_1}{\del \q}
\end{split} \qquad(6)
$$
となる。
次に $r\to\infty$ における $\phi_1$ 外部境界条件が必要である。ここでは一致条件として、$r\to\infty$ の展開が Biot–Savart 積分の $r/\rho\to0$ の極限から得られる表式に一致することを課す。(1) から以下を得る。（ $\B{r}=x\B{i}+y\B{j}=X\B{n}+Y\B{b}$ であり、(2.3.9)の結果を用いている。）
$$
\begin{split}
\B{V}_I+\ff{\G}{2\pi}\oint \B{s}_{\odot}\times \ff{ \B{r}-\B{R}_{\odot} }{|\B{r}-\B{R}_{\odot}|^3}\,\diff s_{\odot} &= \B{V}_I+\ff{\G}{2\pi r^2}\big( X\B{b}-Y\B{n} \big) \EE
&\qquad+\ff{\G}{4\pi \rho}\left[ -\ff{XY}{r^2}\B{n}-\ff{Y^2}{r^2}\B{b}+\B{b}\log \ff{8\rho}{r} \right]+O\left( \ff{\G r}{\rho^2} \right)
\end{split} \qquad(7)
$$
したがって、$r\to \infty$ にて、
$$
\begin{split}
\nabla \phi_1 \sim \B{V}_I+\ff{\G}{4\pi \rho} \left[ -\ff{XY}{r^2}\B{n}-\ff{Y^2}{r^2}\B{b}+\B{b}\log \ff{8\rho}{r} \right]
\end{split} \qquad(8)
$$
以上より $\phi_1$ は一意に定まり、このようになる。
$$
\begin{split}
\phi_1 &= \B{V}_I\cdot \B{r}-\ff{a_0}{r^2}\left( \ff{\del \B{R}}{\del t}-\B{V}_I \right)\cdot \B{r}+\ff{\G Y}{4\pi \rho}\log \ff{8\rho}{r} \EE
&\qquad+\ff{\G Y a_0^2}{4\pi \rho r^2}\left( \log \ff{8\rho}{a_0}-1 \right)+\int \B{V}_I\cdot \diff \B{s}+\phi_1^{\RM{def}}
\end{split} \qquad(9)
$$
最後の項は $a_1(s,\theta)$ に起因する （$(\phi_1^{\mathrm{def}}$ を含めて変形の効果を表している）。
一致漸近展開法を用いればコア内部についても同精度で解き、圧力あるいは速度の他成分を一致させて $\partial\mathbf{R}/\partial t$ を求められる。しかしそれは煩雑であり、内部流は非回転ではないので渦度場の修正も必要になる。ここでは力の釣り合いを用いる方法（§10.3 の渦輪に対する Lamb 変換の考え方に類似）により、その手間を避けることにする。
圧力と表面力
今度は、圧力を Bernoulli 方程式から計算する。座標系は $O(V_I)$ の速度のオーダーで並進し、$O(V_I/\rho)$ の角速度で回転する非慣性系だが、$a/\rho$ の先頭次数では速度 $\partial\mathbf{R}/\partial t$ による並進だけを保持すればよい。このとき圧力について以下を得る。
$$
\begin{split}
p+\ff{1}{2} \big( \nabla \phi_0 \big)^2+\nabla \phi_0\cdot \nabla\phi_1-\ff{\del \B{R}}{\del t}\cdot \nabla \phi_0 = O\left( \ff{\G^2}{\rho^2} \right)
\end{split} \qquad(10)
$$
変形 $a_1(s,\theta)$ による寄与は合力に寄与しないので $\phi_1^{\mathrm{def}}$ とともに無視し、$r=a$（添字 0 は省略）でこのようになる。
$$
\begin{split}
p &= \ff{\G}{\pi a^2}\left( \B{V}_I-\ff{\del \B{R}}{\del t} \right)\cdot (Y\B{n}-X\B{b}) \EE
&\qquad-\ff{\G^2 X}{4\pi^2 \rho a^2}\left( \log \ff{8\rho}{a}-\ff{1}{2} \right)-\ff{\G^2}{8\pi^2a^2}+O\left( \ff{\G^2}{\rho^2} \right)
\end{split} \qquad(11)
$$
この圧力を曲面上で積分すると、表面での単位長さ当たりの力 $\B{F}_E$ はこのようになる。
$$
\begin{split}
\B{F}_E = \G\left( \B{V}_I-\ff{\del \B{R}}{\del t} \right)\times \B{s}+\ff{\G^2}{4\pi \rho}\B{n}\left( \log \ff{8\rho}{a}-\ff{1}{2} \right)-\ff{\G^2}{8\pi a^2}\ff{\del a^2}{\del s}\B{s}-\ff{\G^2}{8\pi \rho}\B{n}
\end{split} \qquad(12)
$$
上式は (4) の Kutta 力の仮説と「渦糸張力」$T_0$ が確認でき、$\rho$ を渦輪半径 $R$ と読み替えると $T_0$ は空洞渦輪に対する値 (10.3.29) と一致する。式 (12) の最後の 2 項は，表面上の旋回流による一様な圧力低下 $-\Gamma^2/(8\pi^2 a^2)$ から来る寄与で、直観的にも明らかである。これらは内部構造を通じて伝達される力によって一部相殺される。なお式 (12) の誤差項は見かけ上 $O(\Gamma^2 a/\rho^2)$ だが、実際には対称性（$\mathbf{n}\to-\mathbf{n},\ \rho\to-\rho$ で不変という性質）により $O(\Gamma^2 a^2/\rho^3)$ とより小さなオーダーとなる。
空洞渦（hollow vortices）
空洞だが非圧縮な渦、あるいは質量の無いコアについて考える。コアの内圧は先頭次数で $s$ に依らない。したがってコア半径は $a=a(t)$ とおける。このとき、渦糸長を $L$ としてコアの大きさはこのようになる9。
$$
\begin{split}
a^2 L = const.
\end{split} \qquad(13)
$$
そして、運動は力の釣り合いにより以下で与えられる。
$$
\begin{split}
\B{F}_E+\B{F}_I = \B{0}
\end{split} \qquad(14)
$$
ここで $\mathbf{F}_E$ は (12)、$\mathbf{F}_I$ は要素 $\diff \xi$ の両端を通じて伝達される運動量である。さらに表面に界面張力 $\gamma$ があるとする。このときコアの内圧 $p_I$ は先頭次数で
$$
\begin{split}
p_I = -\ff{\G^2}{8\pi^2 a^2}+\ff{\gamma}{a}
\end{split} \qquad(15)
$$
であり、両端からの伝達力 $\B{F}_I$ は、
$$
\begin{split}
\B{F}_I = \ff{\del}{\del s}\Big( 2\pi a\gamma-\pi a^2 p_I \Big)\B{s} = \left( \ff{\G^2}{8\pi}+\pi a \gamma \right)\ff{\B{n}}{\rho}
\end{split} \qquad(16)
$$
となる。したがって (12),(14),(16) から以下の空洞渦糸の運動方程式を得る。
$$
\begin{split}
\ff{\del \B{R}}{\del t} = \B{V}_I+\ff{T_0+\pi a \gamma}{\G} \ff{\B{b}}{\rho}
\end{split} \qquad(17)
$$
ここで (2) は、(12) だけでは残ってしまう $\mathbf{s}$ 方向成分の任意性を取り除く。$\gamma=0$ のとき，これはカットオフ近似である。実際、構成よりこのようになる。
$$
\begin{split}
\left. \ff{\del \B{R}}{\del t} \right|_{\RM{cut\, off}} &= \B{V}_I+\ff{\G}{4\pi} \int_{[\delta]} \diff \B{s}_{\odot} \times \ff{ \B{R}-\B{R}_{\odot} }{ | \B{R}-\B{R}_{\odot}|^3 } \EE
&= \B{V}_I+\ff{\G}{4\pi \rho} \left( \log \ff{8\rho}{a}-\log 2\delta \right) \B{b}
\end{split} \qquad(18)
$$
空洞渦のカットオフ値 $\DL{ \delta=\ff{1}{2} e^{1/2} }$（式 (2.2)）を用いれば同値である。さらに界面張力があると
$$
\begin{split}
\log 2\delta = \ff{1}{2}-\ff{4\pi^2 a \gamma}{\G^2}
\end{split} \qquad(19)
$$
となり、これは $T_0$ を $T_0+\pi a \gamma$ に置き換えることと同値である10。
そして、コア半径 $a$ を決めるために必要な長さ $L$ は次で求められる。
$$
\begin{split}
L = \oint \diff s = \oint \ff{\del s}{\del \xi} \diff \xi
\end{split}
$$
このとき、
$$
\begin{split}
\ff{\diff L}{\diff t} = \oint \ff{\del}{\del t} \left( \log \ff{\del s}{\del \xi} \right)\diff s = -\oint \ff{\del \B{R}}{\del t}\cdot \ff{\B{n}}{\rho}\,\diff s
\end{split} \qquad(20)
$$
なぜなら、
$$
\begin{split}
\ff{\del}{\del s}\ff{\del \B{R}}{\del t} &= \ff{\del \xi}{\del s}\ff{\del}{\del \xi} \left( \ff{\del \B{R}}{\del t} \right) = \ff{\del \xi}{\del s}\ff{\del}{\del t}\left( \ff{\del \B{R}}{\del \xi} \right) \EE
&= \ff{\del \xi}{\del s}\ff{\del}{\del t}\left( \B{s} \ff{\del s}{\del \xi} \right) \EE
&= \ff{\del \B{s}}{\del t}+\B{s}\ff{\del}{\del t}\left( \log \ff{\del s}{\del \xi} \right)
\end{split} \qquad(21)
$$
のためである。
両辺に $\B{s}$ の内積を作用させると（ $s^2=1$ のため $\B{s}\cdot \del \B{s}/\del t = 0$ であることに注意）以下を得る。
$$
\begin{split}
\ff{\del}{\del t}\left( \log \ff{\del s}{\del \xi} \right) = \B{s}\cdot \ff{\del}{\del s}\ff{\del \B{R}}{\del t} = \ff{\del}{\del s}\left( \B{s}\cdot \ff{\del \B{R}}{\del t} \right)-\ff{\B{n}}{\rho} \cdot\ff{\del \B{R}}{\del t}
\end{split} \qquad(22)
$$
なお、(20)は $\DL{ \oint \ff{\del}{\del s} \left( \B{s}\cdot \ff{\del \B{R}}{\del t} \right)\diff s = 0 }$ であることに注意して記述されている。
もし、渦が外部の非回転速度場 $\mathbf{U}_E(\mathbf{r},t)$ 中にある場合は、$\mathbf{V}_E(\xi)=\mathbf{U}_E(\mathbf{R},t)$ と定義して、式中の $\mathbf{V}_I$ に $\mathbf{V}_E$ を単純に加えればよい。
内部構造をもつ渦（vortices with internal structure）
同様に進めるが，圧力と運動量流束（レイノルズ応力）への内部構造の影響も計算して $\mathbf{F}_I$ を求める。 まずは圧力について考える。先頭次数においてコア内では $\DL{ \ff{\partial p}{\partial r} = \ff{v_\theta^2}{r} }$、また $r=a$ で $p=-\DL{ \ff{\G^2}{8 \pi^2 a^2} }$ である。つまり、圧力による力はこのように表せる。
$$
\begin{split}
-\int_0^a 2\pi rp\,\diff r = \pi \int_0^a rv_\q^2\, \diff r+\ff{\G^2}{8\pi}
\end{split} \qquad(23)
$$
したがって張力は、有効的に $\DL{ \ff{1}{2}\pi a^2 \ol{v_\q^2} }$ だけ増加し，そのオーダーの大きさは $\Gamma^2$ である。次に運動量流束（レイノルズ応力）を考える。コア内速度は、$w$（ $\xi$ に対して一定で動く点に対する軸方向速度）、$\mathbf{u}_\perp$（断面平面内の速度）でこのようになる。
$$
\begin{split}
w\,\B{s}+\B{u}_{\perp}+\ff{\del \B{R}}{\del t}
\end{split} \qquad(24)
$$
前半の２項は、$O(\G/a)$ のオーダーになり得る。一方、最終項 $\partial\mathbf{R}/\partial t$ は小さく、 $O(\Gamma/\rho)$ のオーダーである。以上から、レイノルズ応力の寄与はこのようになる。
$$
\begin{split}
-\int_{\RM{core}} w\left( w\,\B{s}+\B{u}_{\perp}+\ff{\del \B{R}}{\del t} \right)\diff A = -\pi a^2 \ol{w}^2\,\B{s}-\pi a^2 \ol{w}\ff{\del \B{R}}{\del t}-\int w\, \B{u}_{\perp}\, \diff A
\end{split} \qquad(25)
$$
式(25) の右辺第１，２項はそれぞれ $O(\Gamma^2)，O(\Gamma^2 a/\rho)$ のオーダーである。最終項は渦糸が直線なら $0$ で、曲率効果により $O(\Gamma^2 a/\rho)$ が期待され、その計算には内部速度場の $O(a/\rho)$ のオーダーの補正が必要になる。しかし Lamb の変換に似た方法（Moore & Saffman 1972, Appx A）により先頭次数で、
$$
\begin{split}
\int w\, \B{u}_{\perp}\, \diff A = \ff{2\pi \B{b}}{\rho} \int_0^a r^2 v_\q w_0\, \diff r = \lambda \G\, \ol{w_0}\,a^2\,\ff{\B{b}}{\rho}
\end{split} \qquad(26)
$$
という関係が示せる。一様渦においては、$\DL{ \lambda =\ff{1}{4}}$ となる。
(23),(25),(26) を合わせると以下を得る。
$$
\begin{split}
\B{F}_I &= \ff{\del}{\del s}\left[ \ff{\G^2}{8\pi}\B{s}+\left( \ff{1}{2}\pi a^2 \ol{v_\q^2}-\pi a^2 \ol{w_0^2} \right)\B{s}-\pi a^2 \ol{w}\ff{\del \B{R}}{\del t}-\lambda \G \ol{w}\,a^2\,\ff{\B{b}}{\rho} \right] \EE
&= \left( \ff{\G^2}{8\pi}+\ff{1}{2}\pi a^2 \ol{v_\q^2}-\pi a^2 \ol{w_0^2} \right)\ff{\B{n}}{\rho}+\ff{\del}{\del s}\left( \ff{1}{2}\pi a^2 \ol{v_\q^2}-\pi a^2 \ol{w_0^2} \right)\B{s} \EE
&\qquad-\pi a^2 \ol{w_0}\ff{\del \B{s}}{\del t}-\pi a^2 \ol{w_0}\,\B{s}\, \ff{\del}{\del t}\left( \log \ff{\del s}{\del \xi} \right)+\G \lambda \tau \ol{w_0}\,\ff{\B{n}}{\rho}-\G\,\ol{w_0}a^2\,\ff{\del}{\del s}\left( \ff{\lambda}{\rho} \right)\B{b}
\end{split} \qquad(27)
$$
ここでは (22) を用い、また後で示す (32) を見越して $\del (a^2 \ol{w})/\del s = O(\gamma a^2/\rho^2)$ と評価し、(27) の省略項は $O(\Gamma^2 a^2/\rho^3)$ とした。いま運動量保存より、外力と内力の和はコア内部流体の運動量変化率に等しいと言えて。すなわち、
$$
\begin{split}
\diff s(\B{F}_E+\B{F}_I) = \diff \xi\, \ff{\del}{\del t}\left[ \left( \pi a^2 \ff{\del \B{R}}{\del t}+\pi a^2 \ol{w}\,\B{s} \right)\ff{\del s}{\del \xi} \right]
\end{split} \qquad(28)
$$
である。
ここで、$\DL{ \ff{\del}{\del t} = O(\G/\rho^2) }$ を用いると、$\DL{ \ff{\del \B{R}}{\del t} }$ を含む項は小さいので無視出来て、以下を得る。
$$
\begin{split}
\B{F}_E+\B{F}_I = \pi a^2 \ol{w}\, \ff{\del \B{s}}{\del t}+\B{s}\ff{\del}{\del t}(\pi a^2 \ol{w})+\pi a^2 \ol{w}\,\B{s}\ff{\del}{\del t}\,\log \ff{\del s}{\del \xi}
\end{split} \qquad(29)
$$
(12),(27),(29) の $\B{s}$ に垂直な成分から、
$$
\begin{split}
\G \left( \B{V}_I-\ff{\del \B{R}}{\del t} \right)\times \B{s}+T\ff{\B{n}}{\rho} = 2\pi a^2 \ol{w_0}\, \ff{\del \B{s}}{\del t}+\G\,\ol{w_0}\,a^2 \ff{\del}{\del s}\left( \ff{\lambda}{\rho} \right) \B{n}-\G\lambda \tau \ol{w_0}\,a^2\ff{\B{n}}{\rho}
\end{split} \qquad(30)
$$
が得られて、ここに
$$
\begin{split}
T = T_0+\ff{1}{2}\pi a^2\,\ol{v_\q^2}-\pi a^2\,\ol{w_0^2}
\end{split} \qquad(31)
$$
である。
(30)の左辺は $O(\Gamma^2/\rho)$、右辺は $O(\Gamma^2 a/\rho^2)$ のオーダーなので、空洞渦のときと同様に右辺を無視すれば（式(18)参照）カットオフ近似が得られる。しかし (30) が与える速度はより高次の近似である。例えば、一様コアをもつ大ピッチの螺旋（ヘリックス）について角速度 $\om$ を計算し、Kelvin の微小摂動理論 (3.7) と比較すると完全に一致することが確かめられる。一様コアの半径を $a$、角速度を $\Omega$、一定の軸方向速度を $W$ とすると、このようになる。
$$
\left\{
\begin{split}
&\, \lambda = \ff{1}{4} \EE
&\, \G = 2\pi \Omega a^2 \EE
&\, \ol{v_\q^2} = \ff{1}{2}\Omega^2 a^2 \EE
&\, \ol{w_0} = W \EE
&\, \ol{w_0^2} = W^2
\end{split}
\right.
$$
螺旋の半径が $D$、曲率半径 $\rho$ が $(Dk^2)^{-1}$ ならば、そのねじれは $-k$ であり、$\DL{ \ff{\del \B{R}}{\del t}=\om D\B{b}, \ff{\del \B{s}}{\del t}=k\om D \B{n} }$ となる。§2 での直接計算の結果から次が与えられ、
$$
\begin{split}
\B{V}_I = \ff{\G}{4\pi} k^2 D \left( K-\log \ff{8\rho}{a}+\ff{1}{4} \right)\B{b}
\end{split}
$$
なお、ここに $K$ は§3 で与えている。これを(30)に代入すると、$\om / \Omega$ が得られ、これは(3.7)と一致する。
一般運動に対しては (30) だけでは閉じていないため、内部構造の決定が必要になる。残る２本の方程式は連続の式と、縦方向に関しての運動量収支（(28) の $\${s}$ 成分）である11。前者については、
$$
\begin{split}
\ff{\del}{\del t}\left( a^2\ff{\del s}{\del \xi} \right)+\ff{\del}{\del \xi}\big( \ol{w_0}\, a^2 \big) = 0
\end{split} \qquad(32)
$$
後者は、
$$
\begin{split}
\ff{\del}{\del t}\big(\pi a^2\,\ol{w_0} \big) = -\ff{\G^2}{8\pi a^2}\ff{\del a^2}{\del s}+\ff{\del}{\del s}\left( \ff{1}{2}\pi a^2\ol{v_\q^2}-\pi a^2\,\ol{w_0^2} \right)-2\pi a^2\,\ol{w_0}\ff{\del}{\del t}\left( \log\,\ff{\del s}{\del \xi} \right)
\end{split} \qquad(33)
$$
となる。
Moore & Saffman [1972] は、曲率の符号反転に対する不変性から、コア半径の空間変動は相対的に $O(a^2/\rho^2)$ と小さく、先頭次数では
$$
\begin{split}
a = a(t)
\end{split} \qquad(34)
$$
としてよいと論じた。
この結果に基づく以下の議論は、式(32)および式(33)と整合する。まず、コアの体積保存則から、以下の結論が導かれる。（ $L$ は渦糸の全長である）
$$
\begin{split}
L a^2 = const.
\end{split} \qquad(35)
$$
その結果、先頭次数における旋回速度 $v_\theta$ は $s$ に依存せず $r,t$ のみの関数と言えて、さらに循環保存からこのようになる。（ $\widetilde{\G}$ は初期内部構造により定まる関数）
$$
\begin{split}
v_\q = \ff{\G}{2\pi r}\,\widetilde{\G}\left( \ff{r}{a} \right), \quad(\widetilde{\G}(1)=1)
\end{split} \qquad(36)
$$
また、
$$
\begin{split}
a^2\, \ol{v_\q^2} = \ff{\G^2}{8\pi^2}\mu, \quad \left( \mu = 4\int_0^1 \ff{1}{\eta}\,\widetilde{\G}^2(\eta)\,\diff \eta \right)
\end{split} \qquad(37)
$$
であり、$\mu$ は運動を通じて一定であり、一様回転においては $\mu=1$ である。
軸方向速度 $w_0$ はより難しい。一様伸長では軸速度プロファイルは保存されるが、外部圧力勾配はコア全体に一様な軸加速度を与える。さらに $V_{\parallel} = \B{s}\cdot \del \B{R}/\del t$ の変動によって、平均軸速度は位置により $O(\Gamma a/\rho)$ の次数で変化する。そのため、以下を得て、
$$
\begin{split}
w_0 = W(t)+q(\xi,t)+\ff{\G}{b} \chi\left( \ff{r}{a} \right)
\end{split} \qquad(38)
$$
一般性を失わずに、
$$
\begin{split}
\int_0^1 \eta\, \chi(\eta)\,\diff \eta = 0
\end{split} \qquad(39)
$$
と仮定できる。なお、$b$ は初期条件で定まる $O(a)$ のオーダーの定数である。このとき、
$$
\left\{
\begin{split}
&\, \ol{w_0} = W+q \EE
&\, a^2\,\ol{w_0^2} = a^2 W^2+\ff{a^2 \G^2}{b^2}\nu+2a^2 W q+O\left( \ff{\G^2 a^2}{\rho^2} \right)
\end{split} \qquad(40)
\right.
$$
が成立すると言える。ただし、$\nu = \DL{ 2\int_0^1 \eta \chi^2(\eta)\diff \eta } $ は初期条件で定まる定数である。
さて、コア体積保存則は可変速度 $q$ を与える。(38) を連続の式 (32) に代入し (35) を用いるとこれを得る。（式変形の過程で(21)も用いている）
$$
\begin{split}
\ff{\del q}{\del s} &= -\ff{\del}{\del t}\left( \log\,\ff{\del s}{\del \xi} \right)+\ff{1}{L}\ff{\diff L}{\diff t} \EE
&= -\ff{\del V_{\parallel}}{\del s}+\ff{\del \B{R}}{\del t}\cdot \ff{\B{n}}{\rho}+\ff{1}{L}\ff{\diff L}{\diff t}
\end{split} \qquad(41)
$$
また、以下に注意せよ。
$$
\left\{
\begin{split}
&\, L=\oint \diff s \EE
&\, \ff{\diff L}{\diff t} = \oint \ff{\del}{\del t}\left( \log \ff{\del s}{\del \xi} \right)\diff s = -\oint \ff{\del \B{R}}{\del t}\cdot \ff{\B{n}}{\rho}\diff s
\end{split}
\right.
$$
式 (40) は $q$ 内の渦糸速度の項を決めるが、時間 $t$ だけの任意関数の分だけ不定である。これは $W$ を再定義して、
$$
\begin{split}
\oint q\,\diff s = 0
\end{split} \qquad(42)
$$
となるようにすれば解消できる。以下の(45)から分かるように、この要請は渦糸の軸で定義される閉曲線まわりの循環保存と整合する。平均軸速度 $W(t)$ については、(33) に代入すると以下を得る。
$$
\begin{split}
-2\pi a^2 W \ff{\del q}{\del s}-2\pi a^2 W \ff{\del}{\del t}\left( \log \ff{\del s}{\del \xi} \right)-\pi \ff{\diff}{\diff t}\big( a^2 W \big) = 0
\end{split} \qquad(43)
$$
さらに、(40)から $\del q/\del s$ を代入して、
$$
\begin{split}
\ff{2a^2 W}{L}\ff{\diff L}{\diff t}+\ff{\diff}{\diff t}\big( a^2 W \big) = 0
\end{split} \qquad(44)
$$
したがって、
$$
\begin{split}
Wa^2 L^2 = const. \quad \RM{or}\quad WL=const.
\end{split} \qquad(45)
$$
を得る。これは角インパルス（angular impulse）の保存、または循環保存として解釈できる。内部構造の残るパラメータは、(26)の $\lambda$ であり、
$$
\begin{split}
\lambda = \int_0^1 \left( \eta \widetilde{\G}(\eta)+\eta\ff{\G}{Wb}\chi(\eta)\widetilde{\G}(\eta) \right)\diff \eta+O\left( \ff{a}{\rho} \right)
\end{split} \qquad(46)
$$
となる。よって $\lambda$ は渦糸に沿っては一定だが、$W$ への依存のため時間とともに変化すると言える。
以上より、内部構造の本質的性質は初期条件と $L$ で決まり、そして $L$ は渦の運動方程式で決まるため、方程式系は閉じると言える。ただし現状の形では暗黙的なので、同じ精度を保ちながら以下のように陽に書き直すことにする。
構造に関する結果を用いると、(30)の運動方程式は
$$
\begin{split}
\G \left( \B{V}_I-\ff{\del \B{R}}{\del t} \right)\times \B{s}+T\ff{\B{n}}{\rho} &= 2\pi a^2 W\ff{\del \B{s}}{\del t}+2\pi a^2 W q \ff{\B{n}}{\rho}\EE
&\qquad +\lambda \G W a^2 \ff{\del}{\del s}\left( \ff{\B{b}}{\rho} \right)+O\left( \ff{\G^2 a^3}{\rho^3} \right)
\end{split} \qquad(47)
$$
ここに $T$ は以下である。
$$
\begin{split}
T = T_0+\ff{\G^2\mu}{16 \pi}-\pi a^2 W^2-\ff{\pi a^2 \G^2\nu}{b^2}
\end{split} \qquad(48)
$$
さらに、(47)の両辺に $\B{s}$ の外積を施すと以下が得られる。
$$
\begin{split}
\ff{\del \B{R}}{\del t}-\B{V}_I-\ff{T}{\G \rho}\B{s} = -2\pi a^2 W \B{s}\times \ff{\del \B{s}}{\del t}-2\pi a^2 W q\ff{\B{b}}{\rho}-\lambda \G Wa^2\,\B{s}\times \ff{\del}{\del s}\left( \ff{\B{b}}{\rho} \right)
\end{split} \qquad(49)
$$
(49)の右辺を無視すると一次近似として、
$$
\begin{split}
\ff{\del \B{R}_0 }{\del t}=\B{V}_I+\ff{T}{\rho}\B{b}
\end{split} \qquad(50)
$$
が得られるが、これは次のカットオフ近似と一致すると言える。（したがってカットオフ・パラメータは $t$ の関数であると言える。）
$$
\begin{split}
\log 2\delta = \ff{1}{2}+\left[ \ff{\mu}{4}-\ff{4\pi^2 a^2 W^2}{\G^2}-\ff{4\pi^2 a^2\nu}{b^2} \right]
\end{split} \qquad(51)
$$
より高次の近似では、$\DL{\ff{\del \B{R}}{\del t}}$ についての (50) の一次近似を用いて (21),(43) から $\partial\B{s}/\partial t$ と $q$ を評価できる。(21) から以下が得られる。
$$
\begin{split}
\B{s}\times \ff{\del\B{s}}{\del t} = \B{s}\times \ff{\del}{\del s}\left( \B{V}_I+\ff{T}{\G \rho}\B{b} \right)
\end{split} \qquad(52)
$$
さらに (43) から次を得る。（インテグラルの下端を書かれていないのは、(42) を満たすように $t$ の任意関数を加える必要があることを意味する。）
$$
\begin{split}
q = \int^s \left\{ \ff{\del}{\del s}(\B{V}_I\cdot \B{s})-\ff{\B{V}_I\cdot \B{n}}{ \rho } \right\}\diff s+\ff{s}{L}\ff{\diff L}{\diff t} = \int^s \B{s}\cdot \ff{\del \B{V}_I}{\del s}\diff s+\ff{s}{L}\ff{\diff L}{\diff t}
\end{split} \qquad(53)
$$
以上より $\B{V}_I$ は一意に定義され、(49) とその付随方程式は渦糸の時間発展を与える閉じた系となる。外部速度場がある場合は、$\B{V}_I$ に外部速度場 $\B{V}_E(\xi)$ を加えればよい。
インパルスとエネルギー
Moore & Saffman (1972) は、線形インパルス $\B{I}$ と角インパルス $\B{A}$ が以下で与えられることを示している。
$$
\left\{
\begin{split}
&\, \B{I} = \ff{1}{2}\G \oint \B{R}\times \B{s}\,\diff s+O(\G a^2) \EE
&\, \B{A} = -\ff{1}{2}\G \oint \B{R}^2\,\B{s}\,\diff s+\pi W a^2 \oint \B{R}\times \B{s}\,\diff s+O(\G a^2 \rho)
\end{split} \qquad(54)
\right.
$$
さらに、$\DL{ \ff{\del \B{R}}{\del t} }$ が外部速度を加えた (49) で与えられるとき
$$
\left\{
\begin{split}
&\, \ff{\diff \B{I}}{\diff t} = \G\oint \B{V}_E\times \B{s}\,\diff s \EE
&\, \ff{\diff \B{A}}{\diff t} = \G\oint \B{R}\times(\B{V}_E \times \B{s})\,\diff s
\end{split} \qquad(55)
\right.
$$
が成立することを検証した。
また孤立渦糸の運動エネルギーへの寄与も、渦糸周りの線積分で表せる。渦糸の単位長さ当たりのエネルギー密度は、
$$
\begin{split}
E = T_0-\ff{3\G^2}{8 \pi}-\G\big( \B{R}\times (\B{V}_I+\B{V}_E)\cdot \B{s} \big)+\ff{\G^2}{4\pi}\ff{\B{s}\cdot\B{R}}{\rho}\ff{\del \rho}{\del s}+\ff{1}{2}\pi a^2\big( \ol{v_\q^2}+\ol{w_0^2} \big)+O\left( \ff{\G^2 a}{\rho} \right)
\end{split} \qquad(56)
$$
となる。インパルスとエネルギーの保存は、数値計算の精度を評価する有用なテストになり得る。
脚注
- 8：次数評価には対数的寄与もあるが，ここでは明示しない。実際には，液体ヘリウム II の量子化渦線模型を除けば，それらが大きくなることはほとんどない。
- 9：もしコアが蒸気を含むなら，半径は内部圧が蒸気圧に等しいという条件で決まり，体積は保存されない。
- 10：追加項が (2\pi a\gamma)（周長×(\gamma)）だけではないのは，コア内部の圧力低下 (\gamma/a) が断面積 (\pi a^2) にわたって作用する寄与もあるためである。
- 11：これら 2 本の方程式は速度プロファイルに関する仮定と組み合わせて，直線フィラメントに対する軸対称擾乱の伝播を調べるのに使える。ただしそれらは速い時間スケール (a^2/\Gamma) で伝播する（§12.1 参照）。ここで関心があるのは，フィラメント軸の変動によって生じる遅い時間スケール (\rho^2/\Gamma) の変化である。
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