第１章– category –

　流体が理想流体で密度も一定であると仮定しよう。（一様または可変密度の場合を区別するため、密度が位置または時間で変化しない場合 $\rho=1$ とすることも約束する）このとき、運動方程式(5.2)は次のように書ける： $$\begin{split}\ff{\del \B{u}}{\d...

　任意の連結領域で渦度が零の場合、流れは渦無し流れと言える。このとき、$\text{rot}\,\B{u}=\B{0}$ でり、また速度ポテンシャルと呼ばれるスカラー $\phi(x,y,z,t)$ が存在して： $$\begin{split}\B{u}=\nabla \phi \qquad(1)\end{split}$$ 　領域が単...

　ヘルムホルツの方程式(5.6)または(5.11)は積分できる。具体的には物質要素 $\delta \B{s}$ が時刻 $t_0$ での初期値 $\delta \B{s}_0$ と軌道 $\B{X}(t)$ の元の位置 $\B{X}_0=\B{X}(t_0)$ に関して、ヤコビアンを通しての関係は以下のように表せる： $$...

　ヘルムホルツの諸法則は、保存力の作用下での理想流体における循環の保存を通しても確認できる。流体内の閉曲線 $C(t)$ 周りの循環 $\Gamma(t)$ について考えよう。このとき曲線は縮約可能である必要は必ずしもない。この循環は次のようになる。 $$\begi...

　ヘルムホルツ [1858] によって渦運動に関する３つの法則が与えられた。これは、保存力の作用下での理想流体の運動に対するもので、次の様に述べられる： I. 最初に渦度を持たない流体粒子は渦度を持たないまま留まる。 II. ある瞬間に渦線上にある流体粒...

　渦度が零でない流体領域において、渦度ベクトルに平行に描かれた曲線を渦線という。渦線は流線と同様に、以下の微分方程式を満たす。 $$\begin{split}\ff{\diff x}{\xi}=\ff{\diff y}{\eta}=\ff{\diff z}{\zeta}\qquad(1)\end{split}$$ 　複数の渦線が集...

　渦流れの記述において相当に重要なスカラー関数は、単純閉曲線 $C$ 周りの循環 $\Gamma$ と呼ばれる量である。循環は速度 $\B{u}$ の線積分として次の様に定義される。 $$\begin{split}\Gamma = \oint_C \B{u}\cdot \diff\B{s}\qquad(1)\end{split}$$ 　...

　渦度の運動学的解釈は、ある一点の近傍の相対運動を解析することによって得られる。例えば、距離 $\delta \B{x}_p$ だけ離れた2つの流体粒子間の相対速度 $\delta \B{u}_p$ は次のように書ける。 $$\left\{\begin{split}&\,\delta \B{u}_p = \ff{\de...

　流体の運動は、速度場 $\B{u}(\B{x},t)$ により記述される。速度の回転は $\text{curl}$ ないしは $\text{rot}$ と書いて、渦度と呼ばれる。（※ curl は米英の流儀、rot はドイツや日本の流儀）渦度 $\B{{\omega}}(\B{x},t)$ は様々な記法で書かれるが、...