流体が理想流体で密度も一定であると仮定しよう。（一様または可変密度の場合を区別するため、密度が位置または時間で変化しない場合 $\rho=1$ とすることも約束する）このとき、運動方程式(5.2)は次のように書ける：
$$
\begin{split}
\ff{\del \B{u}}{\del t} + (\B{u}\cdot\nabla)\B{u} &= -\nabla p + \B{F} \EE
\ff{\del \B{u}}{\del t} +\left( \ff{1}{2}\nabla \B{u}^2-\B{u}\times \B{\omega} \right) &= -\nabla p + \B{F} \EE
\ff{\del \B{u}}{\del t} &= -\nabla \left( p+\ff{1}{2} \B{u}^2 \right) + \B{u}\times \B{\omega}+\B{F} \qquad(1)
\end{split}
$$
まずは、単位質量当たりのポテンシャルエネルギーが $V$ であるような保存力 $\B{F}$ （$\B{F}=-\nabla V$）のみが作用していて、さらに流れが定常流（$\DL{ \ff{\del \B{u}}{\del t}=0 }$）である場合について考えよう。このとき、流脈線と流線は一致していることにも注意しよう。また、$q=|\B{u}|$ で表すとして、流脈線に沿って考えると、 $\DL{\B{u}\cdot\nabla=q\ff{\del}{\del s}}$ ともなる。これらを考慮すると、式(1)は、
$$
\begin{split}
\nabla \left( p+\ff{1}{2} q^2 +V\right) &= \B{u}\times \B{\omega} \qquad(3)
\end{split}
$$
となる。左辺の中身に注目すると、ベルヌーイの方程式が現れる。
$$
\begin{split}
p+\ff{1}{2} q^2 +V = H
\end{split}
$$
$H$ は各流線に沿って一定だが、通常は流線と流線では異なる値を持つ。$H$ はベルヌーイ定数と呼ばれる。これより、
$$
\begin{split}
\nabla H = \text{grad} H = \B{u}\times \B{\omega} \qquad(4)
\end{split}
$$
が言える。
さて、$H$ が領域内で一定であるのは、$\B{u}$ と $\B{\omega}$ が平行な場合（流線と渦線が一致する流れ）か、渦無し流れ（$\B{\omega}=\B{0}$）の場合に限られることを示していく。
なお、$\B{u}\times \B{\omega}=\B{0},\, \B{\omega}\neq \B{0}$ つまり、（$\B{u} \parallel \B{\omega}$）の流れをベルトラミ流と呼ぶ。さらに、$\B{u}\cdot \B{\omega}=0,\, \B{\omega}\neq \B{0}$ の場合の流れは、「複層流」という用語が用いられる。特別な場合は、2次元平面流と旋回のない軸対称流である。$H=const.$ であるような流れは、ラム面と呼ばれる。
工学的な文脈では、$p$ はしばしば静圧、そして $\DL{ p_T = p+\ff{1}{2}q^2 }$ は全圧と呼ばれる。また、$g$ を重力加速度として $\DL{\ff{H}{g}}$ は、全水頭となる。
さらに、ベルヌーイの定理は、流れが渦無し流れであれば非定常流にも拡張できる。この場合、式(1)は次の様に書ける。
$$
\begin{split}
\nabla\ff{\del \phi}{\del t} &= -\nabla \left( p+\ff{1}{2} q^2 + V \right) \qquad(5)
\end{split}
$$
したがって、
$$
\begin{split}
\ff{\del \phi}{\del t} + p+\ff{1}{2} q^2 + V = F(t) \qquad(6)
\end{split}
$$
ただし、$F(t)$ は時間の任意関数（通常境界条件または慣例によって指定されるが、定式化に依存する未知数かもしれない）である。流体がバロトロピー流体の場合、ベルヌーイ方程式(3)とそれを拡張した式(6)を、$p$ を $\DL{\int \ff{\diff p}{\rho} }$ で置き換えることができる。
さらに、渦度が一定の領域での非圧縮流体の2次元流に対しては、別の拡張も可能である（Lamb [1932 §159a]）。$\Psi(x,y,t)$ を流れ関数、$\chi(x,y)$ を $t$ に無関係な任意関数で $\nabla^2\chi = -\omega$ を満たすものとする。
すると $\chi$ は調和関数で、このとき $\Psi-\chi$ は調和関数であり、また調和共役な関数 $\phi(x,y,t)$ を持つ。そして、$\phi+i(\Psi-\chi)$ は解析的であって、その速度成分は $(\phi_x+\chi_y,\, \phi_y-\chi_y)$ である。すると一定な渦度領域で、オイラー方程式は次のように書ける：
$$
\begin{split}
\nabla \left( \ff{\del \phi}{\del t} + p+\ff{1}{2} q^2 + \omega \Psi + V \right)= 0 \qquad(7)
\end{split}
$$
そして、
$$
\begin{split}
\ff{\del \phi}{\del t} + p+\ff{1}{2} q^2 + \omega \Psi + V = F(t) \qquad(8)
\end{split}
$$
が従う。
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