1.7 コーシーの方程式 Cauchy’s equation

　ヘルムホルツの方程式(5.6)または(5.11)は積分できる。具体的には物質要素 $\delta \B{s}$ が時刻 $t_0$ での初期値 $\delta \B{s}_0$ と軌道 $\B{X}(t)$ の元の位置 $\B{X}_0=\B{X}(t_0)$ に関して、ヤコビアンを通しての関係は以下のように表せる：

$$
\begin{split}
\delta \B{s} = \ff{\del \B{X}}{\del \B{X}_0} \delta \B{s}_0 \qquad(1)
\end{split}
$$

　物質要素を渦線に沿ってとると、式(5.13)から時刻 $t$ での位置 $\B{X}(t)$ での渦度 $\B{\omega}$ は、時刻 $t_0$ での $\B{X}_0$ での渦度 $\B{\omega}_0$ とコーシーの方程式によって以下のように結び付けられる：

$$
\begin{split}
\ff{\B{\omega} }{\rho} = \ff{\del \B{X}}{\del \B{X}_0} \ff{\B{\omega}_0}{\rho_0} \qquad(2)
\end{split}
$$

　式(2)の妥当性の検証は簡単である、位置の時間に関する微分が $\DL{\ff{\diff \B{X}}{\diff t}=\B{u}}$ であることに注意して、

$$
\begin{split}
\ff{\diff}{\diff t}\left( \ff{\B{\omega} }{\rho} \right) = \ff{\del \B{u}}{\del \B{X}_0} \ff{\B{\omega}_0}{\rho_0} = \ff{\del \B{u}}{\del \B{X}}\left( \ff{\del \B{X}}{\del \B{X}_0}\ff{\B{\omega}_0}{\rho_0}\right)=\ff{\del \B{u}}{\del \B{X}}\ff{\B{\omega} }{\rho} \qquad(3)
\end{split}
$$

　これは、式(5.11)と同一である。運動方程式の操作に基づく別の導出は Lamb [1932 §146] によって与えられる。また、Goldstein [1960 §4.2] はケルビンの循環定理からこの結果を導出している。