渦度が零でない流体領域において、渦度ベクトルに平行に描かれた曲線を渦線という。渦線は流線と同様に、以下の微分方程式を満たす。
$$
\begin{split}
\ff{\diff x}{\xi}=\ff{\diff y}{\eta}=\ff{\diff z}{\zeta}\qquad(1)
\end{split}
$$
複数の渦線が集まって菅を成したものを渦管と呼ぶ。この用語は通常、断面が小さく楕円形、あるいは無限小であることを含意する。
さて、定義から渦度ベクトルは渦菅の表面に対して常に平行であることが言える。すなわち、渦菅の法線ベクトルを $\B{n},$ 渦度ベクトルを $\B{\omega}$ として、$\B{\omega}\cdot\B{n}=0$ となる。このことから、渦菅のあらゆる断面において、渦度の流束は一定であることが言える。つまり、$A_1$ と $A_2$ という２つの断面をそれぞれ貫く渦度の強度の差については、以下が成立して、
$$
\begin{split}
\int_{A_1} \B{\omega}\cdot\B{n}\,\diff S-\int_{A_2} \B{\omega}\cdot\B{n}\,\diff S=0 \qquad(2)
\end{split}
$$
これに発散定理を適用すると以下が成立する。（$\text{div}\B{\omega}=0$ からも違和感はないはず）
$$
\begin{split}
\int_{A_1-A_2} \text{div}\,\B{\omega}\,\diff V=0 \qquad(3)
\end{split}
$$
流束と循環の関係式（3.2）から、渦管に沿った渦度流束は、渦管壁上の任意の閉曲線（管を一周する）の周りの循環に等しいと言える。この量は渦管の強さと呼ばれ、管の強さを測る最も自然な尺度となる。
先の議論から分かる通り、渦管の強度は管内の位置によって変化しない。それゆえ、渦管は閉じているか、無限に伸びているか、固体境界で終わっているかのいずれかとなることが結論される。
渦度場がコンパクト（＝有限領域に渦度が局在化しており、その外側では渦度が零か指数的に小さくなるという意味）である場合、渦管は閉じた曲線であるか、境界上で始点と終点を持つ必要がある。渦線が流体内で始点や終点を持つことはできないため、閉曲線を形成するか境界上で始点と終点を持つという誤った主張がなされることがある。
一般に、渦線は無限に長く、たとえ場がコンパクトであっても、無限に、そしてしばしば極限まで自身に近いところを通過できる。一方で、（解析的に研究されている）対称な流れ場においては、流体内で端点を持つような渦線が形成されることがある。なぜなら、このような渦度場は孤立点（渦零点）を持つ可能性があり、この場合においては渦線が流体内で終結しないという主張と矛盾しないのである。
さて、$\omega_i = \A_{ij}x_j,\,\, \A_{ii}=0$ という場合の線構造について調べると、孤立した点を中心について線が交差しているか、楕円になっていることが分かる。前者の場合、孤立点における方向は、その点に近づく際の極限として定義される。
滑りなし境界条件を満たす実際の流体では、渦度法線成分がゼロになる（物体上の閉回路でも循環はゼロであるため）。そのため、渦線は、孤立した付着点と分離点を除いて、静止した物体表面の接線方向に向いていなければならない。この場合においては、渦管は物体上で終わることはできず、閉曲線となっているか無限に伸びているかのいずれかになる。（渦管は回転体の表面上で終わることもある）
ただし、この場合は §1 の制約 (v) に違反する。この問題に対処するために渦度場を拡張する方法については、§2.4 を参照 のこと(Batchelor も参照)。
渦管の外側は渦無し流れである場合、この渦菅は渦糸（渦フィラメント）とも呼ばれる。フィラメントの外側には渦度が存在しないので、フィラメント強度の計算をフィラメント壁面の曲線に限定する必要はなく、フィラメントを囲む任意の閉曲線に対して計算が実行できる。
渦糸はしばしば単に渦と呼ばれるが、ここでは渦無し流れ内にある、有限体積の渦度を表す用語として使用することにする。（流れが二次元の場合は当然ながら変更される）。もちろん、渦糸と渦は、粘性によって渦度が拡散するため、厳密には流体が理想流体でなければ意味をなさないが、粘性が小さな流体に対しても有用な近似となる。
コメント