1.1 速度と渦度の関係

　流体の運動は、速度場 $\B{u}(\B{x},t)$ により記述される。速度の回転は $\text{curl}$ ないしは $\text{rot}$ と書いて、渦度と呼ばれる。（※ curl は米英の流儀、rot はドイツや日本の流儀）渦度 $\B{{\omega}}(\B{x},t)$ は様々な記法で書かれるが、一例として次の様に記述される。

$$
\begin{split}
\B{{\omega}}(\B{x},t) &= \omega_i \EE
&= \text{curl}\B{u} \EE
&= \eps_{ijk}\ff{\del u_{k}}{\del x_j} \EE
&=\left(\ff{\del w}{\del y}-\ff{\del v}{\del z},\,\ff{\del u}{\del z}-\ff{\del w}{\del x},\, \ff{\del v}{\del x}-\ff{\del u}{\del y} \right) \EE
&= (\xi, \eta, \zeta) \qquad(1)
\end{split}
$$

　さらに、渦度はその定義より非発散性（＝ソレノイダル性）を持つ。すなわち、

$$
\begin{split}
\text{div}\,\B{\omega} = \ff{\del \omega_i}{\del x_i} = \ff{\del \xi}{\del x}+\ff{\del \eta}{\del y}+\ff{\del \zeta}{\del z}=0\qquad(2)
\end{split}
$$

が成立する。（※ 証明は以下に示す。）

証明

$$
\begin{split}
\text{div}\,\B{\omega} &= \ff{\del \xi}{\del x}+\ff{\del \eta}{\del y}+\ff{\del \zeta}{\del z}
\EE
&=\ff{\del}{\del x}\left(\ff{\del w}{\del y}-\ff{\del v}{\del z} \right)+\ff{\del}{\del y}\left(\ff{\del u}{\del z}-\ff{\del w}{\del x} \right)+\ff{\del}{\del z}\left(\ff{\del v}{\del x}-\ff{\del u}{\del y} \right) \EE
&= \ff{\del^2 w}{\del x\del y}-\ff{\del^2 v}{\del x\del z}+\ff{\del^2 u}{\del y\del z}-\ff{\del^2 w}{\del y\del x}+\ff{\del^2 v}{\del z\del x}-\ff{\del^2 u}{\del z\del y} \EE
&= 0\quad(\text{Q.E.D.})
\end{split}
$$

　流れの記述と理解における渦度の重要性は、第一に、(1)式を逆変換することで、速度場を渦度場の積分として表現できること。第二に、渦度の粘性拡散が無視できる場合に、流体が正圧的（すなわち、密度 $\rho$ が圧力 $p$ の単価関数）で外力が保存的である場合、渦度がヘルムホルツの法則（§5参照）として知られる保存原理を満たし、それゆえ渦度を「追跡」できることに由来する。

　理想流体では渦度は創出されず、コンパクトな渦度分布はコンパクトのままである²。ゆえに、流体流れの構造と時間発展は速度場よりも、渦度場を用いることで経済的に記述できる。

　問題となるのは、逆変換が可能で $\B{u}$ を一意に決定する条件である。これについては、必要十分ではないが、以下の6つの条件が十分であることが知られている：

(i) 速度場が非発散性、すなわち $\text{div}\,\B{u}=0 $ 　(3)
　（この条件は流体が非圧縮性流体の場合、すなわち物質微分 $\DL{ \frac{\text{D}\rho }{ \text{D} t}=\frac{\del\rho}{\del t}+(\B{u}\cdot\nabla)\rho=\B{0} }$ の場合に満たされる。なお、流体が均質である必要はない、つまり $\rho=\text{const.}$ である必要はない。）

(ii) 流体が占める領域が単連結である。

(iii) 境界面 $S$ 上で流体速度の法線成分 $\B{U}_{\B{n}}$ が与えられている。

(iv) 流体が無限領域の場合、無限遠で速度が消失する。

(v) $S$ 上では渦度の法線成分が消失する。

(vi) 渦度場がコンパクトである。（＝純数学的意味ではなく、有限領域に渦度が局在化しており、その外側では渦度が零かせいぜい指数的に小さいという通常の意味）

　この条件が満たされるとき、速度場は非発散なベクトルポテンシャルと無回転なスカラー成分の和として一意に与えられる（ヘルムホルツ分解）：

$$
\begin{split}
\B{u}(\B{x},t)=\B{u}_{\text{v}}(\B{x},t)+\nabla \phi\qquad(4)
\end{split}
$$

ここで、

$$
\begin{split}
\B{u}_{\text{v}}&=\ff{1}{4\pi}\int \ff{\B{\omega}(\B{x}’,t)\times (\B{x}-\B{x}’)}{|\B{x}-\B{x}’|^3} \,\text{d}\B{x}’\EE
&= -\ff{1}{4\pi}\int \B{\omega}(\B{x}’,t)\times \nabla \ff{1}{|\B{x}-\B{x}’|}\,\text{d}\B{x}’ \qquad(5)
\end{split}
$$

　$\nabla\phi$ は、次の古典的ポテンシャル問題の条件として一意に決定される（例えば Lamb [1932 §35] 参照）：

$$
\begin{split}
\nabla^2\phi=0,\quad \ff{\del\phi}{\del n}=U_n-\B{u}_{\text{v}}\cdot\B{n}\,\,\, (\text{on}\,\,S),\quad \phi\to0\, \,\text{as}\,\,\B{x}\to \infty \qquad(6)
\end{split}
$$

　なお、式(4)において、$\B{u}_\text{v}$ は次を満たす非発散な速度場である：

$$
\begin{split}
\text{rot}\,\B{u}_{\text{v}}=\B{\omega} \qquad(7)
\end{split}
$$

　$\nabla\phi$ は非回転・ソレノイダル場である。すなわち、$S$ 上の速度場に対して単一の境界条件を満たすために加えることができる場である。なお、境界が無い場合は $\phi = 0$ である。

　式(4)の証明は、ベクトル解析の標準的練習問題である。6つの条件がどのように関わるかを示すため、簡潔な発見的導出を以下に示す。簡単のため、$\B{\omega}(\B{x}’,t)=\B{\omega}’, $ $|\B{x}-\B{x}’|=r,$ $\DL{\ff{\del}{\del \B{x}}=\nabla},$ $\DL{\ff{\del}{\del \B{x}’}=\nabla’}$ と表す。

　まずは、２つの重要なベクトル解析の式を以下に示す。

$$
\left\{
\begin{split}
&\,\text{div}(\B{a}\times\B{b})=\B{b}\,\cdot\,\text{rot}\,\B{a}-\B{a}\,\cdot\,\text{rot}\,\B{b} \qquad(8) \EE
&\,\text{rot}(\B{a}\times\B{b})=\B{a}\,\text{div}\,\B{b}-\B{b}\,\text{div}\,\B{a}-(\B{a}\cdot \nabla)\B{b}+(\B{b}\cdot \nabla)\B{a} \qquad(9)
\end{split}
\right.
$$

　さらに、関数理論についても以下の有用な結果がある。

$$
\left\{
\begin{split}
&\,\text{rot}\,\text{grad}\left( \ff{1}{r} \right)=0 \qquad(10) \EE
&\, \nabla^2 \left( \ff{1}{r} \right)=-4\pi\,\delta(\B{x}-\B{x}’) \qquad(11)
\end{split}
\right.
$$

　それでは、最初に $\B{u}_{\text{v}}$ について考えよう。式(5)のダイバージェンスを式(8)と(10)を用いて考える。（$\text{div}\,\B{\omega} = 0$ も用いている）

$$
\begin{split}
\text{div}\,\B{u}_{\text{v}}&= -\ff{1}{4\pi}\int \text{div}\left\{ \B{\omega}’\times\nabla \left( \ff{1}{r} \right) \right\}\text{d}\B{x}’ \EE
&= -\ff{1}{4\pi}\int \left[ \nabla \left( \ff{1}{r} \right)\cdot\,\text{rot}\,\B{\omega}’-\B{\omega}’\cdot \text{rot}\left\{ \nabla \left( \ff{1}{r} \right)\right\} \right]\text{d}\B{x}’ \EE
&= \ff{1}{4\pi}\int \B{\omega}’\cdot \text{rot}\left\{ \text{grad} \left( \ff{1}{r} \right)\right\}\text{d}\B{x}’ \EE
&= 0 \qquad(12)
\end{split}
$$

　次に、式(5)のローテーションを考えよう。これに際しては式(9)を用いることで、

$$
\begin{split}
\text{rot}\,\B{u}_{\text{v}}&= -\ff{1}{4\pi}\int \text{rot}\left\{ \B{\omega}’\times\nabla \left( \ff{1}{r} \right) \right\}\text{d}\B{x}’ \EE
&= -\ff{1}{4\pi}\int \left[ \nabla \left( \ff{1}{r} \right)\,\text{div}\,\B{\omega}’-\B{\omega}’ \text{div}\left\{ \nabla \left( \ff{1}{r} \right)\right\} \right. \EE
&\quad\qquad \left. -\left(\B{\omega}’\,\cdot\nabla \right)\nabla \left( \ff{1}{r} \right)+\left(\nabla \left( \ff{1}{r} \right)\,\cdot\nabla \right)\B{\omega}’ \right]\text{d}\B{x}’ \EE
&=\ff{1}{4\pi}\int \B{\omega}’ \text{div}\left\{ \nabla \left( \ff{1}{r} \right)\right\} \text{d}\B{x}’-\ff{1}{4\pi}\int \left(\B{\omega}’\,\cdot\nabla \right)\nabla \left( \ff{1}{r} \right) \text{d}\B{x}’ \EE
&= \B{\omega}-\ff{1}{4\pi}\int \left(\B{\omega}’\,\cdot\nabla’ \right)\nabla \left( \ff{1}{r} \right) \text{d}\B{x}’ \qquad(13)
\end{split}
$$

となる。

　上の計算では式(11)も適用している。また、デルタ関数の性質 $\DL{ \left( \int f(x)\delta(\B{x})\text{d}\B{x}=f(0) \right) }$ も用いている。さらに、$\DL{\nabla \left( \ff{1}{r}\right)=-\nabla’ \left( \ff{1}{r}\right)}$ でもある。なぜなら、$\text{div}\,\B{\omega}’=0$ のため。

　さらに、式(13)の最終項の中身について以下のように書き換えることができる。

$$
\begin{split}
\left(\B{\omega}’\,\cdot\nabla’ \right)\nabla \left( \ff{1}{r} \right)=\nabla’\cdot\,\left\{ \B{\omega}’ \nabla \left( \ff{1}{r} \right) \right\}
\end{split}
$$

これにガウスの発散定理を適用することで、以下が得られる。

$$
\begin{split}
\int_V \left(\B{\omega}’\,\cdot\nabla’ \right)\nabla \left( \ff{1}{r} \right) \text{d}\B{x}’ &= \int_V \nabla’\cdot\,\left\{ \B{\omega}’ \nabla \left( \ff{1}{r} \right) \right\} \text{d}\B{x}’ \EE
&= -\int_S (\B{\omega}’ \cdot \B{n})\,\nabla \left( \ff{1}{r} \right) \diff S’ \qquad(14)
\end{split}
$$

　ところで、条件(v)と(vi)から(7)が成り立つ。条件(i)、(ii)、(iii)、(iv)は、(6)で与えられる唯一のソレノイド非回転速度場 $\nabla\phi$ が指定される。これにより、$\B{u}$ は $\B{\omega}$ によって一意に決定される。注意すべきは、$S$ には \B{u} に対する境界条件が1つしか適用できないということである。したがって、一般には、滑りなし境界条件を追加適用できない。

　別の方法として、ベクトルポテンシャル $\B{A}(\B{x}, t)$ を用いる方法がある。これは(3)式を満たすときに存在して、次のように定義される。

$$
\begin{split}
\B{u}_{\text{v}} = \text{rot}\,\B{A}\qquad(15)
\end{split}
$$

　$\B{A}$ の決定のため、式(15)のローテーションをとると、

$$
\begin{split}
\text{rot}\,\B{u}_{\text{v}} &= \text{rot}\,\text{rot}\,\B{A}\EE
&= \text{grad}\,\text{div}\B{A}-\nabla^2\B{A} \EE
&= \B{\omega}\qquad(16)
\end{split}
$$

　ベクトルポテンシャルは、スカラーの勾配の加算に対して任意である。$\text{div}\,\B{A}=0$ を条件として、スカラー（すなわち $\B{A}$ のゲージを固定）を選択する。すると、(16) はポアソン方程式となる。すなわち、

$$
\begin{split}
\nabla^2\B{A} = -\B{\omega}\qquad(17)
\end{split}
$$

　これの解は、次の様になる。

$$
\begin{split}
\B{A} = \ff{1}{4\pi} \int \ff{\B{\omega}’}{r} \diff \B{x}’\qquad(18)
\end{split}
$$

　これは、$\B{A}$ はソレノイダルであることを必要とすることが言える。上で述べたのと同様の議論から、ガウスの発散定理を考慮しつつ、両辺の発散をとると、

$$
\begin{split}
\text{div}\,\B{A} &= \ff{1}{4\pi} \int_V \text{div} \left( \ff{\B{\omega}’}{r} \right)\diff \B{x}’\EE
&= \ff{1}{4\pi} \int_V \left( \nabla\ff{1}{r}\cdot \B{\omega}’+\ff{1}{r}\,\text{div}\,\B{\omega}’ \right) \diff \B{x}’\EE
&= \ff{1}{4\pi} \int_V \B{\omega}’\cdot \nabla\ff{1}{r}\, \diff \B{x}’\EE
&= \ff{1}{4\pi} \int_S \ff{\B{\omega}’ \cdot \B{n}’}{r} \diff S’
\end{split}
$$

条件(ⅴ) と (ⅵ) から、$S$ 上では渦度の法線成分が $0$ なので、$\B{\omega}’ \cdot \B{n}’=0$ ゆえに、

$$
\begin{split}
\text{div}\,\B{A} &= \ff{1}{4\pi} \int_S \ff{\B{\omega}’ \cdot \B{n}’}{r} \diff S’ = 0
\end{split}
$$

となる。次に、式(18)のローテーションを考えよう、

$$
\begin{split}
\text{rot}\,\B{A} &= \ff{1}{4\pi} \int_V \text{rot} \left( \ff{\B{\omega}’}{r} \right)\diff \B{x}’\EE
&= \ff{1}{4\pi} \int_V \left( \nabla\ff{1}{r}\times\B{\omega}’+\ff{1}{r}\,\text{rot}\,\B{\omega}’ \right)\diff \B{x}’\EE
&= \ff{1}{4\pi} \int_V \ff{\text{rot}\,\B{\omega}’}{r} \diff V’-\ff{1}{4\pi}\int_S \ff{ \B{\omega}’\times \B{n}’ }{r} \diff S’ \EE
&= \B{u}_{v} \qquad(19)
\end{split}
$$

※ 最終行ではベクトルポテンシャルの定義（式(15)）を利用している。　このようにして、式(5)の別の表現が得られた。

　今度は、グリーン関数(18)を使用する代わりに、$S$ にて境界条件を持つ、スカラー関数のラプラス方程式と、ポアソン方程式の解を使用して逆変換を実行することを考えよう。なお、以下に示すのは唯一の手順はなく、最適な手順は応用例により変わることに注意。例えば $\B{B}$ を、直交座標系でのポアソン方程式の任意の解として、

$$
\begin{split}
\nabla^2\B{B} = -\B{\omega}\qquad(20)
\end{split}
$$

　式(2)から、$\text{div}\B{B}$ は調和関数であると言えるが、必ずしも零ではないことに注意しよう。$g$ を $S$ 上での $\text{div}\B{B}$ の値とする。この条件にて今、$\B{C}$ の直交座標成分について方程式を解こう。ただし、$\B{C}=(C_1,C_2,C_3)$ は次の様に定義される。

$$
\nabla^2 \B{C}=0,\quad \text{div}\,\B{C}=-g\,\,\, \text{on}\,\,S\qquad (21)
$$

　とはいえ、この方程式は定義不足であり、無限の任意の解を持つ。例えば、$C_2=C_3=0$、$\DL{\ff{\del C_1}{\del x}=-g\,\,\text{on}\,\,S }$ として、$f$ が以下を満たす関数とする。

$$
\nabla^2 f=0,\quad f=-g\,\,\, \text{on}\,\,S\qquad (22)
$$

このとき、$C_1$ は次のようになる。

$$
\begin{split}
C_1 = \int_0^x f(\xi, y, z)\diff \xi+h(y,z),\qquad \nabla^2 h=-\ff{\del f}{\del x}(0,y,z)\qquad (23)
\end{split}
$$

検算（$C_1=F(x,y,z)-F(0,y,z)+h(y,z)$ に注意）

$$
\begin{split}
&\ff{\del C_1}{\del x}=f(x,y,z) = -g , \EE
\nabla^2 C_1 &= \ff{\del^2 C_1}{\del x^2}+\ff{\del^2 C_1}{\del y^2}+\ff{\del^2 C_1}{\del z^2} \EE
&=\ff{\del f}{\del x}+\ff{\del f}{\del y}-\ff{\del f}{\del y}(0,y,z)\EE
&\qquad+\ff{\del f}{\del z}-\ff{\del f}{\del z}(0,y,z)+\ff{\del^2 h}{\del y^2}+\ff{\del^2 h}{\del z^2} \EE
&=
\end{split}
$$

　これは式(21)の解となる。なぜなら、

$$
\begin{split}
\ff{\del C_1}{\del x} = f,\quad \nabla^2 C_1=\nabla^2h+\ff{\del f(0,y,z)}{\del x}
\end{split}
$$

のためである。$\B{B}$ と $\B{C}$ の詳細な決定方法にかかわらず、$\B{A}=\B{B}+\B{C}$ は(17)を満たす。さらに、$\B{A}$ は調和的であるので、表面 $S$ 上では消える。したがって、$S$ 内部では $\text{div} \B{A}=0$ であり、$\B{A}$ はベクトルポテンシャルであると言える。ここでは、簡単な例として、単位半径の球体内部で $\B{\omega}=(1,0,0)$ の場合を考えよう。このとき、

$$
\begin{split}
\B{B}=-\ff{x^2+y^2+z^2}{6}\B{i}
\end{split}
$$

は式(20)の一つの解と言えるのである。すなわち、$\DL{\ff{\del B_1}{\del x}=-\ff{x}{3}=-g}$ でさらに $\DL{f=\ff{x}{3}}$ となる。これらは、式(22)の解となる。また、我々は式(23)より $\DL{h=-\ff{1}{12}(y^2+z^2)}$ となる。これらから、

$$
\begin{split}
\B{C}=\left\{ \ff{x^2}{6}-\ff{1}{12}(y^2+z^2) \right\}\B{i}
\end{split}
$$

が導かれる。これらの結果より、

$$
\begin{split}
\B{A}=\B{B}+\B{C}=-\ff{1}{4}\left( y^2+z^2 \right)\B{i}
\end{split}
$$

これはソレノイダルであり、式(17)を満たす。このベクトルポテンシャルに対応する速度場は、次式のようになる。

$$
\begin{split}
\B{u}_{\text{v}}=\left(0,-\ff{1}{2}z,\ff{1}{2}y\right)
\end{split}
$$