第３章– category –

　ヘリシティを持つ渦の例を得るためにまず、渦軸周りの旋回速度を持つ軸対称非圧縮性流れの条件を考えよう。ここに、円柱座標 $(r, \q, z)$ を使用し、速度成分 $(u_r, u_{\q}, u_z)$ を $r, z$ と $t$ のみの関数で表そう。すなわち、$\DL{ \ff{\del}{\d...

　反射に対する不変性？と関連する不変量はヘリシティ $J$と呼ばれ、次のように定義される（Moffatt [1969]）： $$\begin{split}J = \int \B{u}\cdot \B{\om}\,\diff V \qquad(1)\end{split}$$ 　非粘性・非圧縮性流体では、単一値ポテンシャルを持つ保存...

　無境界かつ非保存力のない場合の流体力学的インパルスの不変性は、オイラー方程式の空間変位に対する不変性に対応することが知られている。同様に、オイラー方程式の時間と反射に対する不変性は、エネルギーとヘリシティという2つのさらなる不変量と関連...

　流れ量がデカルト座標系（通常 $z$ または $x_3$ で表される）に無関係である場合、流れは二次元と言われる。 　そのとき、横方向の速度成分 $(u, v)$ と渦度の $z$ 成分 $\om_z$ の運動方程式は、$z$ 軸に沿った速度 $w$ と渦度の横方向成分からは切り...

　ところで、式(2.5)より次が従う。 $$\begin{split}\int \B{\om}\,\diff V_V = \B{0} \qquad(1)\end{split}$$ 　孤立渦の表面上では $\B{\om}\cdot \B{n} = 0$ あるため、単一渦の『重心』は、総渦度で割った渦度の第一モーメントとするような、従来の方...

　線渦の特異分布を $\B{\om}$ に代入すると、インパルスの表現は有限となる。曲線 $\B{R}(s)$ 上にある強さ $\Gamma$ の線渦は、以下のインパルスを持つ。 $$\begin{split}\B{I} = \ff{1}{2}\oint \B{R}\times \diff \B{s} \qquad(1)\end{split}$$ そして...

　これまでの議論にて、流体が無境界の場合は、全流れのインパルスの不変であることが示された。今度は、孤立渦、すなわち他の渦または、等価的な物体の運動によって生成される外部速度場中の非回転流体に囲まれた、有限範囲の閉じた渦度分布を考えること...

　無境界な流体では、$\B{I}$ と $\B{A}$ の不変性は粘性の存在下でも成立する。ここで、一様密度の流体に対するナビエ・ストークス方程式は： $$\begin{split}\ff{\del \B{u}}{\del t} = -\nabla p+\nu \nabla^2 \B{u}+\B{F} \qquad(1)\end{split}$$ とな...

　静止状態から運動を生成する衝撃的力のモーメントは、角運動量インパルスと呼ばれる。これを $\B{A}$ で表すと（※ $\B{x}=\B{r}=|r|$ と表記の揺れアリ）： \begin{split}\B{A}=\int \B{x}\times \B{f}\,\diff V = -\ff{1}{2}\int r^2\,\rot\B{f}\diff V...

　運動量に関連するいくつかの結果の見かけ上のパラドックス的性質は、非圧縮性流体の仮定により、圧力が無限の速度で伝達されるというものである。 　だが、わずかな圧縮性の導入により、運動量積分の発散が除去される。この点を説明するために、わずかに...