3.4 圧縮性の効果（Effect of compressibility）

　運動量に関連するいくつかの結果の見かけ上のパラドックス的性質は、非圧縮性流体の仮定により、圧力が無限の速度で伝達されるというものである。

　だが、わずかな圧縮性の導入により、運動量積分の発散が除去される。この点を説明するために、わずかに圧縮性のある流体中での、集中衝撃的力によって生成される運動を考える。この問題は、速度と圧力・密度の擾乱における線形化によって扱いやすくなる。この処理は、大きな距離での流れ場の支配的部分を与えるものとして正当化できる（Landau and Lifshitz [1959 §73]参照）。さて、運動方程式は：

$$
\left\{
\begin{split}
&\, \rho_0 \ff{\del \B{u}}{\del t} = -\nabla p+\rho_0 \B{I}\delta (\B{x}) \delta(t) \qquad(1) \EE
&\, \ff{\del \rho}{\del t} = -\rho_0\,\text{div}\,\B{u} \qquad(2) \EE
&\, p-p_0 = c^2(\rho – \rho_0) \qquad(3)
\end{split}
\right.
$$

　ここで、$\rho_0,p_0$ は圧力と密度の無擾乱値、$\delta(\B{x})=\delta(x)\delta(y)\delta(z)$ は三次元デルタ関数、$c$ は音速、$\rho_0\B{I}$ は流体力学的インパルスである。初期条件は $t<0$ に対して $\B{u}=\B{0}, p=p_0, \rho=\rho_0$ である。式(1)から、渦度は原点に集中していることが分かる：

\begin{split}
\B{\om} = \nabla \delta(\B{x})\times \B{I}H(t) \qquad(4)
\end{split}

このようになる理由は、$\B{x}\neq\B{0}$ にて $\B{u}=\nabla \phi$ であり、以下のことが容易に示される。（この過程では $\DL{\int \B{x}\cdot \nabla \delta(\B{x}) \diff \B{x}=-3,\,\, \int (\B{x}\cdot\B{I})\delta(\B{x}) \diff \B{x} = -\B{I} }$ を用いている）

\begin{split}
\ff{1}{2}\int \B{x}\times \B{\om}\,\diff \B{x}=\B{I} \qquad(5)
\end{split}

　ここから、$\rho$ と $\B{u}$ を上手く消去すると、次の方程式が導かれる。

\begin{split}
\ff{1}{c^2}\ff{\del^2 p}{\del t^2}-\nabla^2 p = -\B{I}\cdot \nabla \delta(\B{x})\delta(t) \qquad(6)
\end{split}

これは、次の解を持つことが示せる。

\begin{split}
\ff{1}{c^2}\ff{\del^2 \chi}{\del t^2}-\nabla^2 \chi = \delta(\B{x})H(t) \qquad(7)
\end{split}

ただし、

\begin{split}
\chi = \ff{1}{4\pi r}H\left( t-\ff{r}{c} \right) \qquad(8)
\end{split}

　したがって、(8)を $t$ で微分し（ステップ関数は微分するとデルタ関数になる）、空間勾配の $\B{I}$ との内積を取って：

\begin{split}
\nabla\left( \ff{\del \chi}{\del t} \right) &= \ff{1}{4\pi }\nabla \left\{ \ff{1}{r}\,\delta\left( t-\ff{r}{c} \right) \right\} \EE
&= \ff{1}{4\pi}\left\{ \ff{\B{r}}{r^3}\delta\left( t-\ff{r}{c} \right)+\ff{1}{r} \delta’\left( t-\ff{r}{c} \right)\ff{\B{r}}{r} \right\} \EE
&= \ff{1}{4\pi}\left\{ \ff{\B{r}}{r^3}\delta\left( t-\ff{r}{c} \right)+\ff{\B{r}}{r^2}\delta’\left( t-\ff{r}{c} \right) \right\}
\end{split}

　インパルス前後の圧力差は、次の様に計算できるので

\begin{split}
p-p_0 &= \B{I}\cdot \nabla\left( \ff{\del \chi}{\del t} \right) \EE
&= \ff{\B{I}\cdot\B{r}}{4\pi r^3 } \delta\left( t-\ff{r}{c} \right)+\ff{\B{I}\cdot\B{r}}{4\pi r^2 }\delta’\left( t-\ff{r}{c} \right) \EE
\therefore\, p&=p_0+\ff{\B{I}\cdot\B{r}}{4\pi r^3 } \delta\left( t-\ff{r}{c} \right)+\ff{\B{I}\cdot\B{r}}{4\pi r^2 }\delta’\left( t-\ff{r}{c} \right) \qquad(9)
\end{split}

となる。さらに、$\DL{ \ff{\del \phi}{\del t}=-\ff{p-p_0}{\rho_0} }$ であるので、

\begin{split}
\phi = \ff{1}{4\pi\rho_0} \B{I}\cdot \nabla \chi = \ff{1}{4\pi\rho_0} \B{I}\cdot\nabla \ff{H(t-r/c)}{r} \qquad(10)
\end{split}

でもあると言える。

　$r > ct$ の領域では、$p = p_0$ かつ $\phi = 0$ である。今、球 $r \lq ct$ 内では、速度は運動量 $\DL{ \ff{2\rho_0}{3}\B{I} }$ を持つ強さ $\DL{ \ff{\B{I}}{4\pi} }$の双極子によるものとなる。これは(2.13)と(4)から従う。式(9)で与えられる圧力は、線形化が速度の二次項を無視するため球内で一定とみなせる。そのため、「失われた」運動量は半径 $ct$ の球面によって運ばれ、伝達される量は：

\begin{split}
-\int \diff t\int (p-p_0)\B{n}\diff S=-\ff{1}{3}\rho_0\B{I} \qquad(11)
\end{split}

で表せる。これは、(9)を代入したのち球面上で積分し、次に $t$ について積分することで得られる。