3.11 渦の運動エネルギー（Kinetic energy of vortices）

　無境界かつ非保存力のない場合の流体力学的インパルスの不変性は、オイラー方程式の空間変位に対する不変性に対応することが知られている。同様に、オイラー方程式の時間と反射に対する不変性は、エネルギーとヘリシティという2つのさらなる不変量と関連している。例えば、体積 $V$ 内の流体の運動エネルギー $T$ は：

$$
\begin{split}
T = \int \ff{1}{2} \rho \B{u}^2\,\diff V \qquad(1)
\end{split}
$$

と表せる。流体が一定密度の場合 $\rho$ を忘れることができて、さらに三次元では次の恒等式が成立する。

$$
\begin{split}
\int \ff{1}{2} \B{u}^2\,\diff V &= \int \B{u}\cdot (\B{x}\times \B{\om})\diff V+\int \Big\{ (\B{u}\cdot \B{x})(\B{n}\cdot \B{u})-\ff{1}{2}\B{u}^2(\B{n}\cdot \B{x}) \Big\}\diff S \qquad(2)
\end{split}
$$

　表面積分は $\DL{|\B{u}| = O\left(\ff{1}{r^3} \right)}$ のオーダーのため、無境界での流体では無限遠の表面上では消失し、次の公式が得られる（Lamb [1932 §153]）。

$$
\begin{split}
T = \int \B{u}\cdot (\B{x}\times \B{\om})\diff V \qquad(3)
\end{split}
$$

　原点に無関係な渦上の積分として運動エネルギーを考えよう。$\DL{ \int \B{n}\times \B{\om}\diff V = \B{0} }$ が(1.3)から言えるため。この公式は二次元では成立しないことに注意する必要がある。このときは(2)の右辺が恒等的に消失することが示せる。さらに、ベクトルポテンシャル $\B{A}$ を導入すると：

$$
\begin{split}
\int \B{u}^2 \diff V = \int \B{A}\cdot \B{\om}\,\diff V+\int \B{u}\times \B{A}\,\diff S \qquad(4)
\end{split}
$$

上の表面積分は無境界な流れでは消失し、次を与える。

$$
\begin{split}
T &= \ff{1}{2} \int \B{A}\cdot \B{\om}\diff V \qquad(5) \EE
&= \ff{1}{8\pi}\iint \ff{\B{\om}(\B{x})\cdot \B{\om}(\B{x}’)}{ |\B{x}-\B{x}’| }\diff V\diff V’ \qquad(6)
\end{split}
$$

　$\Gamma_{\infty} = 0$ の場合、表現(4)と(5)は二次元でも成立し、この場合ベクトルポテンシャルと流線関数の関係を使用して、運動エネルギー（単位長さあたり）は：

$$
\begin{split}
T &= \ff{1}{2} \int \om\psi\,\diff S \qquad(7)
\end{split}
$$

軸対称運動では、$\B{\om}=\om_{\q}\B{\q},\,\, \B{A}=\DL{\ff{\psi}{r}\B{\q} }$ のため、

$$
\begin{split}
T &= \ff{1}{2} \int \ff{\om_{\q}\psi }{r} \,\diff V = \pi\iint \om \psi\,\diff r\diff z \qquad(8)
\end{split}
$$

と、軸対称渦度分布の運動エネルギーが与えられる。

　流体が無境界であるか静止した壁に閉じ込められ、さらに外力が単一値ポテンシャル $\Omega$ を持つ保存的で、粘性がゼロの場合、運動エネルギーは不変となる。非圧縮性流体の運動方程式に粘性項まで含めると：

$$
\begin{split}
\ff{\diff}{\diff t} \int \ff{1}{2}\B{u}^2\diff V &= \int \B{u}\cdot \ff{D \B{u}}{D t}\diff V \EE
&= \int \Big\{ -\B{u}\cdot \nabla p+\B{u}\cdot \B{F}+\nu\,\B{u}\cdot \nabla^2 \B{u}^2 \Big\}\diff V \EE
&= \int \big( p+\Omega \big)(\B{u}\cdot \B{n})\diff S + \nu\int \B{u}\cdot \nabla^2 \B{u}\,\diff V
\end{split}
\qquad (9)
$$

　$\B{u}\cdot \B{n} = 0$ または表面が無限遠にある場合、表面積分は消失する。また、粘性項は次の等価形に変換できる。

$$
\begin{split}
\nu\int \B{u}\cdot \nabla^2 \B{u}\,\diff V &= -\nu\int \ff{1}{2} \left(\ff{\del u_i}{\del x_j}+\ff{\del u_j}{\del x_i} \right)^2 \diff V\EE
&\quad -\nu\int u_in_j\left( \ff{\del u_i}{\del x_j}+\ff{\del u_j}{\del x_i} \right)\diff S \qquad (10) \EE
&= -\nu\int \B{\om}^2\diff V-\nu\int \B{n}\cdot(\B{u}\times \B{\om})\diff S \qquad (11)
\end{split}
$$

　(10)の右辺の第二項は表面応力の仕事率と言える。第一項の被積分関数は、単位体積あたりのエネルギー散逸率として解釈できる。(11)の表面積分が消失する場合、総エネルギー散逸率は渦上の積分として計算できる（一般的に粘性は壁で渦度を生成し、生成された渦度は(11)に含まれるべきであることを念頭に置くべきである）。