2025年11月– date –

　カーデン（Kaden）スパイラルは，相似形をもつ数多くの渦層（ボルテックス・シート）族のうちの一員にすぎない。プラントル（Prandtl, 1922）は，等角（対数）スパイラル形状をもつ二次元・非定常・自己相似の渦層の存在を示した（Küchemann & Weber...

　第6章1節では、Klein Kaffeeloffel 実験における渦層の生成と、それが巻き上がって 2 つの粗粒渦を形成する様子について説明した。このとき、渦層の初期強度は以下のようになる。 $$\begin{split}\kappa = \ff{2Ux}{ \sqrt{a^2-x^2} }\end{split} \qquad...

　線形重ね合わせにより、§8.2 の解析から次が従う。すなわち、 $$\begin{split}y=\eps\sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin\left( \ff{n\pi x}{\lambda} \right) \exp \left( \ff{n\pi Ut}{\lambda} \right)\end{split} \qquad(1)$$ 次に、係数 $A_n$ の任意の値...

　渦層力学の重要な特徴のひとつは、無限に広がる平面一様渦層が、無限小な二次元摂動に対して不安定であることである。§1で示した定式化では、非摂動状態を以下のように表せる。 $$\begin{split}Z=\ff{\Gamma}{U}, \qquad \kappa = U\end{split} \qquad(1...

　一様な密度の流体中に渦層がある状況を考え、その運動を調べることにしよう。このとき、ある時刻 $t$ において、渦層の位置は、弧長 $s$ を媒介変数として、$x=X(s,t), y=Y(s,t), z=x+iy=Z(s,t)$ の方程式で表される。そして、渦層の強さ（接線方向速度...

　静止した壁に囲まれた面積 $V$ の単連結領域内の $N$ 本の線状渦を考える。§3 では、渦の運動はキルヒホッフ・ルースの経路関数であるハミルトニアン $H(p, q)$ で記述されることを示した。 $N>>1$ かつ $V<\infty$ のとき、Onsager [1949] は統計力...

　カルマン渦列とは、流れに直交する物体の後流において自然に形成される二重列の反対回転渦構造である。それぞれの渦は、反対符号の循環を持つペアとして配置され、上下2列に交互に並ぶ。この配置は、von Kármán（1911）によって、流れの安定条件から理論...

　 1章で我々は、正多角形の頂点における渦の平衡配置の安定性について考察した。次に、等しい強度の渦が無限に並んだ場合の安定性について考察することにしよう(Lamb [1932§156])。 　平衡構成は、点 $x=ma, y=0\,(m=1,2,\cdots)$ における強度 $\kappa$ ...

　キルヒホッフ・ルース関数が、共形写像（conformal mapping）の下でどのように振る舞うかを考察するとしよう。今、$z$ 平面上の領域 $D$ 内で運動する $N$ 個の渦があり、その運動が複素ポテンシャル関数 $w(z)$ で記述されているとする。いま、この領域...

　いま、強さが $\kappa_1, \dots, \kappa_N$ である $N$ 本の線状渦が、ある領域内の位置 $z_1, \dots, z_N$ に存在するとする。この領域は、静止しているか、あるいは与えられた運動をしている固定境界に囲まれているものとする。（ここでは、圧力が指定...