静止した壁に囲まれた面積 $V$ の単連結領域内の $N$ 本の線状渦を考える。§3 では、渦の運動はキルヒホッフ・ルースの経路関数であるハミルトニアン $H(p, q)$ で記述されることを示した。 $N>>1$ かつ $V<\infty$ のとき、Onsager [1949] は統計力学の考え方を用いることを提案した。渦の運動は、座標 $\B{p}, \B{q}$ を持つ位相空間上の軌跡で記述でき、これらは物理座標に比例するため、位相空間の全体積は有界となる。位相空間の要素 $\diff \Omega$ は、一例として、
$$
\begin{split}
\diff \Omega = \diff p_1\diff q_1\cdots \diff p_N\diff q_N = \left( \prod_{j=1}^N |\kappa_j| \right)\diff x_1\diff y_1\cdots \diff x_N\diff y_N
\end{split} \qquad(1)
$$
ないしは、
$$
\begin{split}
\int \diff \Omega = \prod_{j=1}^N |\kappa_j|\,V^N
\end{split} \qquad(2)
$$
と表せる。
この軌道は、$H=const$ となる平面を通る。一般に、他の不変量は存在しない。例えば、線形な力積 $\B{I}$ は壁に圧力が加わるため保存されない。角速度インパルルス $A$ は、領域が円形の壁で囲まれている場合には保存される。
解の集合は、位相空間における点群の運動によって記述される。位相空間が保存されるというリウヴィルの定理は、ハミルトン構造によって満たされる。すなわち、
$$
\begin{split}
\ff{D}{D t}\diff \Omega = \div\,\B{Q}\,\diff \Omega = 0
\end{split} \qquad(3)
$$
なぜなら、
$$
\begin{split}
\div\,\B{Q} = \sum_{j=1} \left\{ \ff{\del}{\del p_j}\left( \ff{\diff p_j}{\diff t}\right)+\ff{\del}{\del q_j}\left( \ff{\diff q_j}{\diff t} \right) \right\} = 0
\end{split} \qquad(4)
$$
のためである。以下を考慮すると、
$$
\left\{
\begin{split}
&\, W(E) = \int_{H<E}\diff \Omega \EE
&\, W(-\infty) = 0 \EE
&\, W(\infty) = \prod_{j=1}^N |\kappa_j|\, V^N
\end{split} \qquad(5)
\right.
$$
構成上、$W$ は $E$ の単調増加関数であり、$W’=\diff W/\diff E > 0$ となる。$W’$ は位相空間または配置空間における配置の「密度」であり、$W’\diff E$ は $H$ が $E$ と $E+\diff E$ の間にある位相空間の体積である。エントロピー $S$ を定義する（Landau and Lifshitz [1958]を参照）と、$S$ は次のように定義される。
$$
\begin{split}
S = \log W’
\end{split} \qquad(6)
$$
与えられた体積に対して、状態はその「エネルギー」$E$ によって特徴付けられる。そして、「温度」 $\Theta$ は次のように定義される。
$$
\begin{split}
\ff{1}{\Theta} = \ff{\diff S}{\diff E} = \ff{ \ff{\diff^2 W}{\diff E^2} }{ \ff{\diff W}{\diff E} }
\end{split} \qquad(7)
$$
位相空間の体積は有限のため、$W'(-\infty)=W'(\infty)=0$ であり、$W’$ は、$\DL{ \ff{\diff^2 W(E_m)}{\diff E^2}=0 }$ な変曲点 $E_m$ における最大値（複数存在する可能性もある）を持つ。 簡単のため、ここでは最大値は 1 つだけであると仮定する。 $E < E_m$ の場合、$\Theta > 0$ となり一方、$E > E_m$ の場合、$\Theta < 0$ となり、負の温度状態となる。
Onsager は、正の $\Theta$ を持つ系では、渦がよく混ざり合って無秩序な状態が最も起こりやすいと述べている。しかし、温度が負になると、クラスター化が促進され、同じ符号の渦が「組織化された構造」に集まる。Onsager（オンサガー）の考えは点渦の集合体にも当てはまる。ただし、静止した壁に囲まれた面積 $V$ の領域に、滑らかな渦度分布があると仮定している。
この渦度分布は、同じ不変量、すなわち $H=T$（円形領域の場合は等しい角加速度）を持つ $N$ 個の線状渦の集合と同一視できる。ここで、$T$ は滑らかな分布の運動エネルギーであり、$N→\infty$ のとき、領域内の任意の回路の周りの循環が同じになるという意味で離散化である。熱力学状態方程式 $S=S(E)$ が、$N→\infty$ のときの離散化の特定の形式に依存しないと仮定しよう。そうすれば、滑らかな分布を持つ温度を同一視できる。
残念ながら、現時点ではこの仮定が正しいかどうかは分からない。しかしながら、続けて考えてみこととしよう。ここに、連続分布がオイラー方程式の下で時間とともに発展すると仮定する。この場合、その後のある時刻 $t$ において、再び離散化と状態方程式を同定できる。ただし、状態方程式が不変であるかどうかという別の疑問が生じることになる。位相空間がエルゴード的で、系のエネルギーのみが重要であれば、それらは同じになることが言える。また、Goodman, Hou, およびLowengrubの研究 [1990] は、離散化が位相空間において同じ軌道上にあることを示唆しています。
彼らは、$N→\infty$ の極限においては、線渦の軌跡は、滑らかな渦度分布によって決定される、渦の初期位置に置かれた粒子の軌跡と一致することを証明している。これらの考えが妥当であれば、滑らかな渦度分布に基づく温度と、それの時間発展について、最も可能性の高い状態を推定することが重要になる。
補足：実際の流体への示唆
この統計力学的枠組みは、理想的な点渦系に限らず、実際の二次元乱流にも広く応用されている。特に、粘性が小さい流体では、エネルギーのカスケードが小スケールから大スケールへと逆向きに進む「逆カスケード（inverse cascade）」が生じる。これは、Onsager の負温度状態における渦の凝集と直接対応している。この理論に基づけば、二次元乱流が長時間発展の末に大規模で安定した渦構造（例えば地球大気の極渦や木星の大赤斑）を形成する理由が説明できる。
コメント