線形重ね合わせにより、§8.2 の解析から次が従う。すなわち、
$$
\begin{split}
y=\eps\sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin\left( \ff{n\pi x}{\lambda} \right) \exp \left( \ff{n\pi Ut}{\lambda} \right)
\end{split} \qquad(1)
$$
次に、係数 $A_n$ の任意の値に対する周期的微小擾乱の発展を記述することを考える。Birkhoff と Fisher [1959] が指摘したように、（Birkhoff [1962]、SaffmanとBaker [1979]も参照）以下で与えられる。
$$
\begin{split}
A_n = \exp \left( -|n|^{1/2}-\ff{n\pi Ut_0}{\lambda} \right)
\end{split} \qquad(2)
$$
上式から分かるように、これは $t\leq t0$ では滑らかな（すなわち無限微分可能な）波を与えるが、(1)から言えるように $t\geq t0$ では収束しない。この結果は示唆的であるが、方程式は非線形であるため、非線形相互作用によって例えば $e^{-n^2}$ のような指数関数的減衰が生じ、シートが常に滑らかなままとなる可能性があるのだ。
Moor [1979, 1984] は、期条件が以下のようになる、Birkhoff-Rot 方程式の解については、この問題を検討していることと同義である。
$$
\begin{split}
Z(\G,0) = \G+i\eps \sin \G,\quad -\infty<\G <\infty
\end{split} \qquad(3)
$$
今、$\eps << 1$ として考えると、彼の解決方法は次の様に書ける。
$$
\begin{split}
Z(\G,t) = \G+2i\sum_{n=1}^{\infty} A_n(t)\sin n\G, \quad A_n(0)=\ff{1}{2}\eps \delta_{n1}
\end{split} \qquad(4)
$$
ケルビンーヘルムホルツ不安定性の検討と同様に、(2.4)式への代入と $A_n$ のべき乗展開は、無限個の未知数に対する無限個の非線型方程式からなる無限系を導く。Moor は、この展開は行階段型、すなわち $A_n=\eps^n A_{n0}+\eps^{n+2} A_{n2}+\cdots$ であり、$A_{n0}$ は再帰的に決定できることを指摘している。すなわち、これらの方程式は以下の形をとる。
$$
\begin{split}
\ff{\diff}{\diff t} \overline{A_{n0}} = f_n(A_{10},\cdots, A_{n0})
\end{split} \qquad(5)
$$
ここで、多項式 $f_n$ は $\eps$ に対数的に依存する可能性がある。一連の巧妙な手順により、Moor は漸近式を得ている。大きな $n$ については、以下が得られる。
$$
\begin{split}
\eps^n A_{n0}\sim \ff{1}{t}\cdot \ff{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \ff{1+i}{n^{5/2}} \exp \left\{ n\left( 1+\ff{1}{2}t+\log \ff{1}{4}\eps t \right) \right\}
\end{split} \qquad(6)
$$
これより、係数の指数関数的減衰は $t=t_c$ のときに失われることが言える。ここに、
$$
\begin{split}
1+\ff{1}{2}t_c+\log t_c = \log \left( \ff{4}{\eps} \right)
\end{split} \qquad(7)
$$
を導入する。そして、渦層の形状は $\G=2nπ$ で特異点を生じ、
$$
\begin{split}
Z(\G,t) = \G+\ff{2\sqrt{3}}{3t}(1+i)\big\{ (1-e^{i\G}\eps\,\Theta)^{2/3}-(1-e^{-i\G}\eps\,\Theta)^{3/2} \big\}
\end{split} \qquad(8)
$$
$Θ=\DL{\ff{1}{4}t\exp\left( \ff{1}{2}t+1 \right) }$ となる、特異項の少ない項も加わる。$t→t_c, \, \eps \Theta→1$ のとき、傾きは有限のままだが、無限大の曲率が生じる。渦層は特異点において曲線 $y’=|x’|^{3/2}$ に似ている。ここで $y’=0$ は局所接線である。このときの渦層の強度はこのようになる。
$$
\begin{split}
\kappa(\G) = 1-\ff{\sqrt{3}}{t_c}\Big[ t_c-t+\big\{ (t_c-t)^2+4\G^2 \big\}^{1/2} \Big]^{1/2}+O(1/t_c^2)
\end{split} \qquad(9)
$$
$t→t_c$ で有界となる分布である場合、分布は $κ―κ_c∝x^{1/2}$ の尖頭形になります。特異点は、線形発展で記述されるように、渦層が最も圧縮される点で最初に現れることに注意せよ。渦層は点 $\G=(2n+1)π$ で最も引き伸ばされる。表現 $ Z=Z(\G,t)$ は、$t=t_c$ において $\G$ は解析的ではない。つまり、関数 $Z$ は複素数 $\G$ の $|\Im \G|<δ $ に対してストリップに解析接続することはできない。したがって、$t>t_c$ ではBirkhoff-Rot 方程式の解は存在しないことが示唆される。これは、$t>t_c$ で特異点（例えば螺旋）を持つ解の存在を排除することはできない（§5 を参照）。
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