ヘリシティを持つ渦の例を得るためにまず、渦軸周りの旋回速度を持つ軸対称非圧縮性流れの条件を考えよう。ここに、円柱座標 $(r, \q, z)$ を使用し、速度成分 $(u_r, u_{\q}, u_z)$ を $r, z$ と $t$ のみの関数で表そう。すなわち、$\DL{ \ff{\del}{\del \q} = 0 }$ であるので、連続方程式はストークス流線関数 $\Psi$ の存在によって満たされ、これにより速度と渦度成分は：
$$
\left\{
\begin{split}
&\, \B{u} = \left( -\ff{\del \Psi}{r\del z}, u_{\q}, \ff{\del \Psi}{r\del r} \right) \qquad(1) \EE
&\, \B{\om} = \left( -\ff{\del u_{\q}}{\del z}, -\ff{1}{r}\,D^2\Psi, \ff{\del u_{\q}}{r\del r} \right) \qquad(2)
\end{split}
\right.
$$
ここに、$\DL{ D^2 = \ff{\del^2}{\del r^2}-\ff{\del}{r\del r}+\ff{\del^2}{\del z^2}\quad(4) }$ である。
旋回があるため渦線は $z$ 軸周りで閉じてはいない。そのため、ヘルムホルツ方程式(1.5.6)の方位角成分は次のように変化する。
$$
\begin{split}
\ff{D}{D t}\left( \ff{\om_{\q}}{r} \right) = \ff{1}{r^2}\ff{ \del u_{\q}^2 }{\del z} \qquad(4)
\end{split}
$$
これは旋回 $u_{\q}$ がゼロの場合の(1.5.22)となる。子午面成分は次の様に変化する。
$$
\begin{split}
\ff{D (ru_{\q})}{D t} = 0 \qquad(5)
\end{split}
$$
この方程式は、もちろん対称軸周りの円に対するケルビンの循環定理を表している。2つの方程式(4)と(5)は旋回を伴う軸対称運動の渦度場の発展を記述している。
渦度は形状変化なしに伝播する、したがって、運動が $\Psi$ に対して独立でいくつかの移動座標系で定常であるとする。そのとき(5)の解はこのようになる。
$$
\begin{split}
ru_{\q} = C(\Psi) \qquad(6)
\end{split}
$$
ここに、$C$ は任意関数である。$\diff \Psi = -ru_r\diff z+ru_z\diff r $ なので、(4)の右辺は次のように書ける。
$$
\begin{split}
\ff{1}{r^2}\ff{\del}{\del z}\left( \ff{C^2}{r^2} \right) = -\ff{u_r}{r^3}\ff{\diff C^2}{\diff \Psi} = -\ff{1}{2}\ff{D}{D t}\left( \ff{1}{r^2}\ff{ \diff C^2}{\diff \Psi} \right) \qquad(7)
\end{split}
$$
ここで、最終項は $\DL{ \ff{D \Psi}{D t}=0 }$ であることと $\DL{ \ff{D r}{D t}=u_r }$ であることから従う。(4)を積分することで以下が得られる。
$$
\begin{split}
\ff{\om_{\q}}{r} = -\ff{\diff H(\Psi)}{\diff \Psi}+\ff{C}{r^2}\ff{\diff C}{\diff \Psi} \qquad(8)
\end{split}
$$
ここに、$H$ は $\Psi$ の任意関数であり、$H$ がベルヌーイ定数であることは、(1.9.4)を評価すると分かる。定義 $\nabla H = \DL{ \left( ru_z\ff{\diff H}{\diff \Psi},0,-ru_r\ff{\diff H}{\diff \Psi} \right) } $ と(1)、(2)、(6)から、$\B{u}\times \B{\om} = \DL{ \left(\ff{C}{r^2}\ff{\del C}{\del r}-u_z\om_{\q}, 0, \ff{C}{r^2}\ff{\del C}{\del z}+u_r\om_{\q} \right) }$ が導かれるからである。
これらの2つの表現は、$\om_{\q}$ が(8)で与えられる場合に等しくなる。$\om_{\q}$ を(2)の $\q$ 成分に代入すると、以下の定常軸対称運動に対する（一般的な）非線形方程式が得られる。（Bragg and Hawthorne [1950]）
$$
\begin{split}
D^2 \Psi = r^2\ff{\diff H}{\diff \Psi}-C\ff{\diff C}{\diff \Psi} \qquad(9)
\end{split}
$$
§2.1で議論されたヒルの球形渦は、半径 $a$ の球内で $H = -A\Psi, C = 0$、速度 $\DL{ \ff{2Aa²}{15}}$ で無限遠の流体に対して伝播し、外部でゼロに対応する。Moffatt [1969]（Hicks [1899]も参照）は、次の場合に(9)が解けることを指摘している。
$$
\left\{
\begin{split}
&H = -A\Psi \EE
&C = \pm \A \Psi
\end{split}
\right. \qquad(10)
$$
半径 $a$ の球内では $H$ は一定で、外部では $C$ はゼロである。方程式(9)は線形になり、球座標 $(R, \Theta, \phi)$ について変数分離によって、以下のように解くことができる。
$$
\begin{split}
\Psi = R^2\sin^2\Theta \left\{ -\ff{A}{\A^2}+c\left( \ff{a}{R} \right)^{\ff{3}{2}}\, J_{\ff{3}{2}}(\A R) \right\} \qquad(11)
\end{split}
$$
ここに $c$ は定数である。他の解も考えられるが、(11)で示す解は無限遠で速度が $(0, 0, -U)$ となって、流線関数を持つ球外の定常非回転流れと整合できるため興味深い。
$$
\begin{split}
\Psi = -\ff{1}{2}U\left( R^2-\ff{a^3}{R} \right)\sin \Theta \qquad(12)
\end{split}
$$
これは、$D^2 \Psi = 0$ を明らかに満たす。表面が渦跳躍となるためには、圧力が自動的に連続になるようにすべての速度成分が連続である必要があり、(11)と(12)の勾配が $R = a$ で等しい場合に容易に確認できるのは：
$$
\left\{
\begin{split}
&U = \ff{2}{15}Aa^2 \left\{ \ff{5 J_{\ff{5}{2}}(\A a)}{\A}\,a J_{\ff{3}{2}}(\A a) \right\} \qquad(13) \EE
&c = \ff{A}{\A^2}\,J_{\ff{3}{2}}(\A a) \qquad(14)
\end{split}
\right.
$$
ベッセル関数の振動性質により、速度は後方または前方に向かう。$J_{5/2}(\A a) = 0$ の場合、渦は静止することになる。具体的には $\A a ≈ 5.6$ で最初に静止する。
$H = H(\Psi)$ のため、流線と渦線の両方が表面 $\Psi = 定数$ 上に描かれることになる。これらは入れ子のトーラス族を構成する。$\A$ の可算集合の値に対して、任意の一つのトーラス上にある渦線は閉じており、各線はトーラス結び目を形成する。旋回渦のヘリシティ、インパルス、角インパルス、運動エネルギーは、$u_r$ と $u_{\q}$ の式を適切な公式に代入することによって計算できる。例えば、ヘリシティ $J$ は：
\begin{split}
J = \pm \ff{16}{3}\pi a^2 c^2 f(\A a) \qquad(15)
\end{split}
で与えられ、ここに、
\begin{split}
f(x) = \ff{1}{2}x^2\Big\{ x\big(J_{3/2}(x) \big)^2-xJ_{1/2}(x)J_{5/2}(x)-2J_{3/2}(x)J_{5/2}(x) \Big\} \qquad(16)
\end{split}
\begin{split}
x\to 0,\quad f(x)\sim \ff{\pi x^6}{1560}
\end{split}
である。
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