4.1 運動体の仮想運動量(Virtual momentum of a moving body)

　表面 $S_B$ を持つ有限の物体 $B$ が、一様な密度の非粘性非圧縮性流体中を運動する場合を考えよう。流体に作用する外力はポテンシャル $\Omega$ を持つ保存力であると仮定し、物体が単純連結でない場合には $\Omega$ は単一値であると仮定する。物体を取り囲む流体は、単一値の速度ポテンシャル $\phi$ を持つ非回転運動をしているとする。物体の仮想運動量 $\B{I}_B$ は次のように定義される：

$$
\begin{split}
\B{I}_B = \int \phi\,\B{n}\,\diff S_B \qquad(1)
\end{split}
$$

　ここで、法線ベクトル $\B{n}$ は常に流体から物体内部に向かう方向とする慣例を用いる。$-\phi$ は流体の運動を静止状態から衝撃的に生成するのに必要な衝撃圧力であるため（§3.3参照）、$\B{I}_B$ は流体の慣性に対抗して物体を運動させるために物体に加える必要がある衝撃力である。また、\B{I}_B$ を流体のインパルスと呼ぶことも一般的である（例：Lamb [1932 chap. VI]）。

　しかし、$\B{I}_B$ と§2.4で導入された物体に等価な像渦度の流体力学的インパルスとを区別することが便利である。これら二つの量は等しくないが、それらの関係は単純である。混乱を避けるため、式(1)で定義される量に対してより説明的な「仮想」または「見かけの」運動量という用語を使用する。§3.2で議論したように、流体が無限である場合、流体運動量 $\DL{ \int \B{u}\,dV} $ は定義されない。

　流体が外部で剛体の静止壁によって境界づけられている場合、または平行側面のチャネルや管内にある場合、流体運動量は物体によって排出された流体が持っていたであろう運動量の負の値となる。流体が物体に及ぼす力は二つの部分に分けることができる。第一は外部保存力による流体静力学的浮力であり、次の様に表せる。

$$
\begin{split}
\int_S \Omega\,\B{n}\,\diff S_B = -\int_V \nabla \Omega\,\diff V_B \qquad(2)
\end{split}
$$

　第二の成分は抗力 $\B{D}$ であり、これは外部保存力からの静力学的圧力を差し引いた運動による、物体への力であり、

$$
\begin{split}
\B{D} = \int (p+\Omega)\B{n}\,\diff S_B \qquad(3)
\end{split}
$$

インパルス $\B{I}_B$ の重要性は、他の物体が存在しない無境界流体においては、

$$
\begin{split}
\B{D} = -\ff{\diff \B{I}_B}{\diff t} \qquad(4)
\end{split}
$$

という関係があることである。これらの条件下では、流体の物体への作用は、流体があたかも存在せず、物体が追加の運動量 $\B{I}_B$ のみを持つかのように振舞うことである。$\B{f}_B$ を物体に加えられる外力（流体の静力学的力も含む）、$M\B{U}$ を物体の運動量とすると、運動方程式（ニュートンの第二法則）の表現は、

$$
\begin{split}
\ff{\diff (M\B{U})}{\diff t} = \B{D}+\B{f}_B \qquad(5)
\end{split}
$$

となる。したがって、(4)が成り立つとき、

$$
\begin{split}
\ff{\diff (M\B{U}+\B{f}_B)}{\diff t} = \B{D} \qquad(6)
\end{split}
$$

が成立すると言える。(4)を証明するためには、以下のような方策を用いる。ここに、$S’_B$ が時刻 $t + \delta t$ における表面の位置を表すとして、次が成立する。

$$
\begin{split}
\int_S \phi(S’,t)\B{n}’\,\diff S_B’-\int_S \phi(S,t)\B{n}\,\diff S_B &= \int_V \nabla\phi \big(\diff V’_B-\diff V_B \big) \EE
&= \delta t \int_S (\B{u}\cdot \B{n})\nabla \phi\,\diff S_B
\end{split}
$$

したがって、

$$
\begin{split}
\ff{\diff }{\diff t}\int \phi\B{n}\,\diff S_B = \int \ff{\del \phi}{\del t}\B{n}\,\diff S_B+\int (\B{u}\cdot \B{n})\nabla \phi\,\diff S_B \qquad(7)
\end{split}
$$

　この恒等式が成り立つためには、速度ポテンシャルが単一値であることが必要である。ここで $\DL{ \ff{\partial\phi}{\partial t} } $ は非定常ベルヌーイ方程式(1.9.6)によって与えられる。これを(7)に代入し、(3)を用いて、閉じた物体上では $\DL{ \int\B{n}\,\diff S=0 }$ であることに注意すると、我々は次を得る。

$$
\begin{split}
\ff{\diff \B{I}_B}{\diff t} &= -\B{D}+\int \left( \ff{1}{2}\B{u}^2\B{n}-(\B{u}\cdot \B{n})\B{u} \right)\diff S_B \EE
&= -\B{D}+\int \B{u}\times \B{\om}\,\diff V_B
\end{split} \qquad(8)
$$

　ここで、物体内部の積分における $\B{u}$ は流体速度の物体内部への拡張であり、$\B{\om}$ は対応する束縛渦度である。(8)の表面積分と体積積分は、物体と新しい表面の間に渦度がない場合、物体を囲む任意の表面または体積で置き換えることができる。他の物体が存在しない無境界流体の場合、無限遠での球面を使用できる。この球面上では、$|\B{u}|$ が最大で $O(r^{-2})$ のオーダーであるため表面積分は消失し、(4)が得られる。

　上記の議論において、物体が剛体である必要も、一定体積である必要もない。式(1)は、任意に変形する形状と体積を持つ柔軟な物体の仮想運動量を定義する。ポテンシャルが単一値であるという制約も（少なくとも三次元では）容易に緩和できる。流体領域を単純連結にし、速度ポテンシャルを単一値にするために障壁または隔膜を含めれば十分であり、これらの障壁を積分表面 $S_B$ に含める。さらに、物体は連結である必要はなく、複数の分離した物体から構成されてもよい。

　恒等式(7)と導出(4)は、物体または物体群の周りに正味の循環がない場合、二次元においても同様に成り立つ。この場合、$\B{u}$ は無限遠で $O(r^{-2})$ のオーダーであり、無限遠の円周上で積分は消失する。物体の周りに循環がある場合に必要な修正は単純ではなく、これは§4.4で考察する。二次元では、仮想運動量は流れ平面に垂直な方向の単位長さあたりとして解釈される。