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8.1 Birkhoff-Rot 方程式（The Birkhoff-Rott equation）―第８章 ２次元における渦層
一様な密度の流体中に渦層がある状況を考え、その運動を調べることにしよう。このとき、ある時刻 $t$ において、渦層の位置は、弧長 $s$ を媒介変数として、$x=X(s,t), y=Y(s,t), z=x+iy=Z(s,t)$ の方程式で表される。そして、渦層の強さ（接線方向速度... -
7.7 線状渦系の統計力学（Statistical mechanics of assemblies of line vortices）
静止した壁に囲まれた面積 $V$ の単連結領域内の $N$ 本の線状渦を考える。§3 では、渦の運動はキルヒホッフ・ルースの経路関数であるハミルトニアン $H(p, q)$ で記述されることを示した。 $N>>1$ かつ $V<\infty$ のとき、Onsager [1949] は統計力... -
7.6 カルマン渦列（The Karman vortex street）
カルマン渦列とは、流れに直交する物体の後流において自然に形成される二重列の反対回転渦構造である。それぞれの渦は、反対符号の循環を持つペアとして配置され、上下2列に交互に並ぶ。この配置は、von Kármán（1911）によって、流れの安定条件から理論... -
7.5 無限周期配列の安定性（Stability of infinite periodic arrays）
1章で我々は、正多角形の頂点における渦の平衡配置の安定性について考察した。次に、等しい強度の渦が無限に並んだ場合の安定性について考察することにしよう(Lamb [1932§156])。 平衡構成は、点 $x=ma, y=0\,(m=1,2,\cdots)$ における強度 $\kappa$ ... -
7.4 共形写像とキルヒホッフ・ルースの経路関数（Conformal mapping and the Kirchhoff-Routh path function）
キルヒホッフ・ルース関数が、共形写像（conformal mapping）の下でどのように振る舞うかを考察するとしよう。今、$z$ 平面上の領域 $D$ 内で運動する $N$ 個の渦があり、その運動が複素ポテンシャル関数 $w(z)$ で記述されているとする。いま、この領域... -
7.3 キルヒホッフ・ルースの経路関数（Kirchhoff-Routh path function）
いま、強さが $\kappa_1, \dots, \kappa_N$ である $N$ 本の線状渦が、ある領域内の位置 $z_1, \dots, z_N$ に存在するとする。この領域は、静止しているか、あるいは与えられた運動をしている固定境界に囲まれているものとする。（ここでは、圧力が指定... -
7.2 壁面近傍の渦（Vortices near walls）
単一の線状渦が平面壁の近くに存在する場合、その問題は鏡像法（method of images）によって容易に解くことができる。例えば、壁に対して法線方向の速度がゼロになるという運動学的境界条件を満たすなら、反対符号の強さを持つ鏡像渦を壁の反対側に置け... -
7.1 多角形配列での安定性（Stability of a polygonal array）
非圧縮性流体の二次元運動において、渦度 $ \omega(x, y, t) $ と流れ関数 $\psi(x, y, t)$ と表すとする。ここに、$\DL{ u=\ff{\del \psi}{\del y},\,\, v = -\ff{\del \psi}{\del x} }$ は次の関係で結ばれている。 $$\begin{split}\psi (x,y,t) = -\f... -
6.7 翼周りの加速流れ（Accelerated flow past a wing）
鋭い縁を持つ物体の場合、オイラー流れの非一意性は、速度が有界であることを要求するが、必ずしも連続でないKutta 条件の設定により除去できる。 二次元翼型の運動開始問題（Wagner [1925], Sedov [1965], Karman and Burgers [1934]）を考え、翼周り... -
6.6 流れの分離による渦度生成（Generation of vorticity by flow separation）
保存力または境界運動により、静止状態から始動する非粘性非圧縮流体の物体周りの流れを考えよう。この流れが連続でない限り運動は一意とはならない。この場合、ヘルムホルツ-ケルビンの定理は、流れ内の渦度がゼロで、速度が単一値ポテンシャルの勾配で...
