4.4 循環を伴う二次元運動（Ttvo-dimensional motion with circulation）

　二次元流れにおける物体の仮想運動量の概念は、物体の周りに循環 $\Gamma$ がある場合、修正が必要となる。我々は今、$\phi = \phi_0+\phi_{\Gamma}$ と書く。ここに、$\phi_0$ は循環がない場合の速度ポテンシャル、$\phi_{\Gamma}$ は物体が静止し、無限遠で静止している無境界流体中に、単独で存在するが循環 $\Gamma$ を持つ場合のポテンシャルである。すると、

$$
\begin{split}
\B{n}\cdot \nabla \phi_{\Gamma} = 0 \qquad(1)
\end{split}
$$

が、$S_B$ 上で成立し、物体を反時計回りに一周する閉回路に対して、$\big[\phi_{\Gamma} \big]_C=\Gamma$ である。$\phi_{\Gamma}$ に対応する束縛渦度 $\omega_{\Gamma}$ は、（ $\nabla\phi_{\Gamma}$ の物体内部への拡張を含む）速度場 $\B{u}_{\Gamma}$ を生成し、(3.10.21)で与えられる二次元重心 ${\bar{\B{R}}}_{\Gamma}$ を持つ。(3.10.29)、(3.2.15)および(1)から、重心は $\B{u}_{\Gamma}$ が物体内部に拡張される方法とは無関係であり、物体上での $\B{u}$ の値によって定義されることが導かれる。物体の仮想運動量（単位スパンあたり）は今や次のように定義される：

$$
\begin{split}
\B{I}_B = \oint \phi_0\,\B{n}\,\diff s_B+\Gamma {\bar{\B{R}}}_{\Gamma} \times \B{k} \qquad(2)
\end{split}
$$

　これは(1.8)を満たし、$\Gamma\neq 0$ であっても流体が無境界の場合、境界積分はまだ消失するためである。これを確認するため、(3.10.29)から次式で書かれるものから始める：

$$
\begin{split}
\B{P}_F = \B{I}_V + \oint \B{r}\times (\B{n}\times \B{u})\,\diff s_B \qquad(3)
\end{split}
$$

次に、(2.4)から、

$$
\begin{split}
\B{D}+\int \B{F}\,\diff S_B = \B{I}_V + \oint \B{r}\times (\B{n}\times \B{u})\,\diff s_B \qquad(4)
\end{split}
$$

を得る。時間に関して(3)を微分し、(3.7.14)も用いると、我々は以下を得る。

$$
\begin{split}
\ff{\diff}{\diff t} \oint \B{r}\times (\B{u}\times \B{n})\,\diff s_B = -\B{D}+\oint \left( \ff{1}{2}\B{u}^2\B{n}-\B{u}(\B{u}\cdot\B{n}) \right)\diff s \qquad(5)
\end{split}
$$

ここで、右辺の周回積分は、物体との間に渦度がない任意の回路の周りのものである。今、$\B{u} = \B{u}_0+\B{u}_r$ と書くと、我々は((2.1)参照)次を持つ：

$$
\begin{split}
\oint \B{r}\times (\B{u}_0\times \B{n})\,\diff s_B = \oint \phi_0\,\B{n}\,\diff s_B \qquad(6)
\end{split}
$$

(3)より、$\DL{ \int \B{u}_{\Gamma}\,\diff S_B = 0 } $ である（固定物体周りの流れのため）ので、

$$
\begin{split}
\oint \B{r}\times (\B{u}_{\Gamma} \times \B{n})\,\diff s = \Gamma {\bar{\B{R}}}_{\Gamma} \times \B{k} \qquad(7)
\end{split}
$$

したがって、(5)は次を与える：

$$
\begin{split}
\ff{\diff \B{I}_B }{\diff t} = -\B{D}+\oint \left( \ff{1}{2}\B{u}^2\B{n}-\B{u}(\B{u}\cdot\B{n}) \right)\diff s \qquad(8)
\end{split}
$$

　$\B{I}_B$ が(2)で与えられるとき、(2.3)がまだ成り立つことに注意せよ。循環を持つ仮想運動量 $\B{I}_B$ はガリレイ不変ではなく、したがって運動量は保存されない。定常運動を保持するためには、外力を加える必要がある。仮に、物体が無境界流体中で速度 $\B{U}$ で形状を変えることなく定常運動すると考えると、

$$
\begin{split}
\ff{\diff \B{I}_B }{\diff t} = \Gamma \B{U}\times \B{k} = -\B{D} \qquad(9)
\end{split}
$$

　大きさ $U\Gamma$ の抗力はクッタ揚力である。同様に、仮想角運動量は次のように定義される：

$$
\begin{split}
\B{A}_B = \oint \phi_0(\B{r}\times \B{n})\diff s_B+\ff{1}{2}\oint r^2(\B{n}\times \B{u}_{\Gamma})\diff s_B \qquad(10)
\end{split}
$$

(3.4)と(3.10.20)、そして(3.5.1)とともに、(3.3)が満たされることを示すことができる。Lamb [1932 §134a]は循環を持つ円筒状物体への力についての別の扱いを示している。