4.3 仮想角運動量（Virtual angular momentum）

　原点に対する、ある物体の仮想角運動量は次のように定義される：

$$
\begin{split}
\B{A}_B = \int \phi\,\B{x}\times \B{n}\,\diff S_B
\end{split}
\qquad(1)
$$

　運動による物体への動的トルク $\B{T}$ は：

$$
\begin{split}
\B{T} = \int p\,\B{x}\times \B{n}\,\diff S_B
\end{split}
\qquad(2)
$$

　先ほど用いたものと類似しているが、代数的にやや複雑な議論により、我々は次を得る：

$$
\begin{split}
\ff{\diff \B{A}_B}{\diff t} = -\B{T}+\int_S \left( \ff{1}{2}(\B{n}\times \B{x})\B{u}^2+(\B{x}\times \B{u})\B{u}\cdot \B{n} \right) \diff S
\end{split}
\qquad(3)
$$

ここで、$S$ は物体を囲む任意の表面で、それと物体の間に渦度がないものである。さらに、

$$
\begin{split}
\B{A}_V = \B{A}_B + \int \B{x}\times \B{u}\,\diff V_B
\end{split}
\qquad(4)
$$

　これは仮想角運動量を、角インパルスと物体によって排出された仮想流体の実際の角運動量に関連づける方程式である。(4)の導出に用いられた(2.1)に類似した恒等式は、(3.5.1)で表現された恒等式から同様の方法で証明され、次の通りである：

$$
\begin{split}
\ff{1}{2}\int \B{x}^2(\B{n}\times \B{u})\diff S = \int \phi\,\B{x}\times \B{n}\,\diff S
\end{split}
\qquad(5)
$$

　(4)の積分は、剛体の角運動量に関して単純な表現を持たないように見える。しかし、その変化率は圧力の表面積分と外力のトルクとして表現でき、したがって $\B{u}$ が物体内部に拡張される特定の方法とは無関係である。これの物体の運動方程式は：

$$
\begin{split}
\ff{\diff \B{J}}{\diff t} = \B{T}+\B{g}
\end{split}
\qquad(6)
$$

　ここで、$\B{J}$ は物体の角運動量、$\B{g}$ は外力による原点周りのトルクである。式(6)で $\B{J}$ を排出流体の角運動量で置き換え、$\B{g}$ を $\DL{ \int \B{x} \times \B{F} dV_B }$ で置き換えて、(3)と(4)を組み合わせると、(3.7.19)と等価になる。これらの公式は、物体または物体群の周りに正味の循環がない場合、二次元でもそのまま適用できる。