渦層力学の重要な特徴のひとつは、無限に広がる平面一様渦層が、無限小な二次元摂動に対して不安定であることである。§1で示した定式化では、非摂動状態を以下のように表せる。
$$
\begin{split}
Z=\ff{\Gamma}{U}, \qquad \kappa = U
\end{split} \qquad(1)
$$
次に、我々は渦層に対する、無限小の周期摂動による渦層を考察することにする。すると、
$$
\begin{split}
Z=\ff{\Gamma}{U}+\sum_{-\infty}^{\infty} a_n(t) e^{in\Gamma \A}
\end{split} \qquad(2)
$$
ここで係数 $a_n(t)$ を無限小であると仮定すると、
$$
\begin{split}
Z\left( \Gamma+\ff{2\pi}{\A} \right) = Z(\Gamma)+\ff{2\pi}{\A U}
\end{split} \qquad(3)
$$
と表せる。このとき、物理的な波長は $\DL{ \lambda = \ff{2\pi}{\A U} }$ となる。これを Birkhoff–Rott 方程式（1.6）に代入すると、我々は以下を得る。
$$
\begin{split}
\sum_{-\infty}^{\infty} \ff{\diff \overline{a}_n}{\diff t} e^{-in\Gamma \A} &= -\ff{i}{2\pi}\,\RM{p.v.}\int_{-\infty}^{\infty} \ff{\diff \Gamma’}{ \ff{\Gamma-\Gamma’}{U} \left[ 1+\sum_{-\infty}^{\infty} a_n \ff{e^{in\Gamma\A}-e^{in\Gamma’\A} }{(\Gamma-\Gamma’)/U } \right] }\,\,\, \RM{put}\,\,\q = \Gamma’-\Gamma \EE
&= \ff{iU}{2\pi} \,\RM{p.v.}\int_{-\infty}^{\infty} \ff{ \diff \q/\q }{1-\sum_{-\infty}^{\infty}Ua_n e^{in\Gamma\A}(1-e^{in\q\A})/\q } \EE
&= \ff{iU}{2\pi}\,\RM{p.v.}\int_{-\infty}^{\infty} \ff{\diff \q}{\q}\left\{1+\sum_{-\infty}^{\infty} Ua_ne^{in\Gamma \A}\left( \ff{1-e^{in\q\A}}{\q} \right)+O(a_n^2) \right\}
\end{split} \qquad(4)
$$
上の主値積分は、$\q=0$ と $\q=\infty$ の両方を参照している。つまり、$\DL{\RM{p.v.}\int_{-\infty}^{\infty} \ff{\diff\q}{\q}=0 }$ であり、さらに、$\DL{ \RM{p.v.}\int(1-e^{in\q\A})\ff{\diff\q}{\q^2}=\pi n\A }$ である。したがって、擾乱の振幅についての一次のオーダーは、
$$
\begin{split}
\sum_{-\infty}^{\infty} \ff{\diff \overline{a_n}}{\diff t}e^{-in\Gamma \A} = \ff{iU^2\A}{2}\sum_{-\infty}^{\infty} na_n e^{in\Gamma \A}
\end{split} \qquad(5)
$$
$e^{-in\Gamma \A}$ の係数を等しくすると、我々は以下を得る。
$$
\begin{split}
\ff{\diff \overline{a_n}}{\diff t} = -\ff{i\pi n U}{\lambda}a_{-n},\quad -\infty<n<\infty
\end{split} \qquad(6)
$$
$n$ 次のフーリエ係数 $a_n$ と $a_{-n}$ は $e^{σt}$ のように増大する。ここで、
$$
\begin{split}
\sigma = \pm \ff{\pi n U}{\lambda}
\end{split} \qquad(7)
$$
を導入することにする。
このようになるため、渦層は不安定となる。さらに、波長 $\lambda$ が短いほど、またはモード $n$ が高いほど、成長率は速くなる。これは、渦層の運動が「適切でない問題（ill-posed）」である可能性があることを示唆している。この点については、以下の $8.3 で議論する。
ただし、非定常流において渦層が引き延ばされるような状況ではケルビン・ヘルムホルツ不安定性は抑制されうるかもしれない。
例えば、ヒューリスティックな議論（Saffman [1974]）を考えてみよう。渦層が、外部から与えられた非回転場 $U_E=\beta(t)x,\,V_E=-\beta(t)y$ の中で $x$ 軸に沿って存在するとする。そして、擾乱の波長が時間的に一定ではなく、圧力ジャンプのために擾乱のない状態は平衡解とはならない。しかし、$U>>\beta$ と仮定すると、擾乱の振幅 $A$ は次のように増大 する。
$$
\begin{split}
\ff{1}{A}\ff{\diff A}{\diff t} = \ff{\pi U}{\lambda}, \quad \RM{where}\,\, \ff{\diff \lambda}{\diff t} = \beta \lambda
\end{split} \qquad(8)
$$
$\beta$ が時間の増加関数として $\beta(t)$ で表せる場合、振幅 $A$ は飽和する。波の傾き $\propto A/\lambda$ は $t→\infty$ とともに減少するためである。Moore と Griffith-Jones [1974] は、膨張する円形渦層の安定性について厳密な解析を行った。 乱されていない非定常流れは（極座標 $r, \q$ を用いて）以下のように表せて、
$$
\left\{
\begin{split}
&\,u_r = \ff{\dot{R} R}{r} \EE
&\, u_{\q} = 0, \quad r<R(t) \EE
&\, u_{\q} = \ff{\Gamma}{2\pi r},\quad r>R(t)
\end{split} \qquad(9)
\right.
$$
ここに、$R(t)$ は所与のものであり、$\Gamma=\RM{const}$ であるとしている。
この場は、原点の源によって膨張する半径 $R$、強度 $\DL{ \ff{\G}{2\pi R} }$ の円形渦層を記述する。外乱が加えられると、円は曲線に変形する。つまり、
$$
\begin{split}
r = R+\eps(t) e^{is\q}
\end{split} \qquad(10)
$$
ここに、$|\eps| << R$ かつ $s$ は整数とする。流れは渦の内側と外側の両方で非回転であり、その速度ポテンシャルは、以下のようになる。
$$
\phi =
\left\{
\begin{split}
&\, R\dot{R}\log r+A(t)r^s e^{is\q},\quad r<R+\eps e^{ist} \qquad(11) \EE
&\, R\dot{R}\log r+\ff{\G \q}{2\pi}+B(t)r^{-s}e^{is\q},\quad r>R+\eps e^{ist} \qquad(12)
\end{split}
\right.
$$
渦層が材料表面であり、そして圧力が連続であるという境界条件は、このようになる。
$$
\left\{
\begin{split}
&\, \ff{D}{D t}(R+\eps e^{is\q}-r)=0 \EE
&\, \ff{\del}{\del \q}\left[ \ff{\del \phi}{\del t}+\ff{1}{2}(\nabla \phi)^2 \right] = 0, \quad \RM{on}\,\, \,r=R+\eps e^{ist}
\end{split} \qquad(13)
\right.
$$
ここで、[] は渦層を横切るジャンプを指す。これに代入して線形化すると、振幅についての $\eps(t)$ の式が得られる。
$$
\begin{split}
\ddot{\eps}+\dot{\eps}\left( \ff{2\dot{R}}{R}+\ff{is\G}{2\pi R^2} \right)+\eps\left( \ff{\ddot{R}}{R}-\ff{s(s-1)\G^2}{8\pi^2 R^4} \right)=0
\end{split} \qquad(14)
$$
非定常流れにおける共通の問題は、安定性の正確な定義である。Moore と Griffith-Jones はこの問題を議論し、$\eps$ が有界であるという基準を採用した。彼らはまず $R(t)=Ro(1 + at)^n,\,\, a > 0$ の場合を考察し、次に $s > 2$ となる非自明な場合を検証している。以下、係数を次の様に定義する。
$$
\left\{
\begin{split}
&\, \beta = \ff{\G\sqrt{s^2-2s}}{ 2\pi a R_0^2 } \EE
&\, \tau = 1+at \EE
&\, p=\ff{1}{2-4n}
\end{split} \qquad(15)
\right.
$$
そして、$\tau \to \infty$ にすると、
$$
\left\{
\begin{split}
&\, |\eps(t)| \sim \exp(\beta\,|p|\,\tau^{1-2n}), \quad n<\ff{1}{2} \qquad(16) \EE
&\, |\eps(t)| \sim \tau^{\ff{1}{2}[1+\sqrt{1+\beta^2}] }, \quad n=\ff{1}{2} \qquad(17) \EE
&\, |\eps(t)| \sim \tau^{1-n}, \quad n>\ff{1}{2} \qquad(18)
\end{split}
\right.
$$
が言える。
彼らの基準に従う時、膨張する渦層は $n≧1$ の場合には安定であり、それ以外の場合には不安定であるが、真の不安定性は $n=1/2$ で発生することが指摘されている。$n>1/2$ の場合、擾乱は弱く、波長 $2πR/s$ に依存しない形で増加する。一方、$n<1/2$ の場合、擾乱は指数関数的に増加し、大きな $s$ を持つ短波が最も速く増加する。これは、$n=0$ で回復するケルビン―ヘルムホルツ不安定性の場合と同様である。一般的な $R(t)$ の場合、大きな $s$ に対して WKB 法を適用すると、特殊なケースで得られた結果と一致する。
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