1章で我々は、正多角形の頂点における渦の平衡配置の安定性について考察した。次に、等しい強度の渦が無限に並んだ場合の安定性について考察することにしよう(Lamb [1932§156])。
平衡構成は、点 $x=ma, y=0\,(m=1,2,\cdots)$ における強度 $\kappa$ の渦から構成されている。渦によって誘起される任意の点における速度は、条件付き収束和となる。明確な結果を得るために、Lamb の法則に従い、極限を $N\to \infty,\, -N\leq m \leq N^{10}$ として「主値」を用いる慣例を採用する。
さて、非撹乱行の複素ポテンシャルは、$\DL{ \ff{\sin z}{z} = \Pi_1^{\infty} \left(1-\ff{z^2}{m-2\pi^2} \right) }$ のため、以下が言える。($\sum’$ は $m=0$ が除外されることを意味している)
$$
\begin{split}
w &= -\ff{i\kappa}{2\pi}\lim_{N\to \infty}{\sum_{m=-N}^N}’ \log \left( -\ff{z-ma}{ma} \right) \EE
&= -\ff{i\kappa}{2\pi}{\sum_{m=1}^{\infty}} \left( 1-\ff{z^2}{m^2a^2} \right)-\ff{i\kappa}{2\pi}\log z \EE
&= -\ff{i\kappa}{2\pi} \log \left( \sin\ff{\pi z}{a} \right)
\end{split} \qquad(1)
$$
（有限の結果を得るために、無限和 $\DL{\sum’ \log \left(-\ff{1}{ma} \right)}$ を追加している。）さらに、$z → ma$ のとき、$\DL{ \ff{\diff}{\diff z}\log\left( \ff{\sin \ff{\pi z}{a} }{z-ma} = 0 \right) }$ となる。したがって、すべての渦は静止していることが分かる。（これは対称性から明らかである。）
ここで、渦の微小変位に対する安定性について考察しよう。今、$m$ 番目の渦は、$z_m=ma$ から $z_m+z_m’$ に変位すると仮定しよう。すると、新たな複素ポテンシャルはこのように書ける。（プライム付きの量の平方は無視する）
$$
\begin{split}
w &= -\ff{i\kappa}{2\pi} {\sum_{-\infty}^{\infty}}’ \log \left( 1-\ff{z}{ma}+\ff{z’_m}{ma} \right)-\ff{i\kappa}{2\pi}\log(z-z_0′) \EE
&= -\ff{i\kappa}{2\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \log \left( 1-\ff{z^2}{m^2a^2}+\ff{z(z_m’+z_{-m}’)}{m^2a^2}+\ff{z_m’+z_{-m}’}{ma} \right)-\ff{i\kappa}{2\pi}\log (z-z_0′)
\end{split} \qquad(2)
$$
$m=0$ の渦の速度は、上の和を $z$ について微分し、$z=z_0’$ で評価することによって得られる。１次のオーダーでは、このようになる。
$$
\begin{split}
w &= -\ff{i\kappa}{2\pi} \log \left( \ff{a}{\pi z}\sin \ff{\pi z}{a} \right)-\ff{i\kappa z}{2\pi a^2}{\sum_{-\infty}^{\infty}}’ \ff{z_m’}{m^2}-\ff{i\kappa}{2\pi}\log (z-z_0′)
\end{split} \qquad(3)
$$
それゆえ、
$$
\begin{split}
\ff{\diff \bar{z_0}’}{\diff t} = -\ff{i\kappa \pi}{6a^2}z_0′-\ff{i\kappa}{2\pi a^2}{\sum_{-\infty}^{\infty}}’ \ff{z_m’}{m^2}
\end{split} \qquad(4)
$$
という結果が得られる。
(4)の右辺の最初の項は、$m=0$ の渦の平衡位置付近における、擾乱を受けていない列内の他の渦の速度場を表す。第２項は、他の渦の変位が $m=0$ の渦の速度に及ぼす寄与である。さらに、$\DL{ \sum_{m=1}^{\infty} \ff{1}{m^2} = \ff{\pi^2}{6} }$ であることを用いると、(4) をこのように書き換えられる。
$$
\begin{split}
\ff{\diff \bar{z_0}’}{\diff t} = \ff{i\kappa}{2\pi a^2}{\sum_{-\infty}^{\infty}}’ \ff{z_0′-z_m’}{m^2}
\end{split} \qquad(5)
$$
対称性から、この式は $j$ 番目の渦に対しても成立することが明らかである。この場合、$m=j$ の項は和から省かれる。このように、我々は無限連立方程式が得ることになる。次に、以下の形で与えられる擾乱について考えることにしよう。
$$
\begin{split}
z_m’ = \zeta(t) e^{2\pi i m p}
\end{split} \qquad(6)
$$
一般性を失うことなく、$0≦p≦1$ と仮定できることに注意されたい。数 $p$ は、無歪の分数調波数とみなすことができる。$p=1/2$ の場合、擾乱の波長は $2a$ であり、これは他のすべての渦が同じように動くという意味であり、基本単位は渦対の運動となる。$p$ が非常に小さい場合、擾乱は長波変調である。$p=0$ の場合、すべての渦が同じように動く超高調波擾乱について話すことができる。この場合、超高調波変位は中立的に安定であり、列全体の自明な変位であることは明らかである。
(6)を(5)に代入すると、次の式が得られる。
$$
\begin{split}
\ff{\diff \bar{\zeta}}{\diff t} = \ff{i\kappa \zeta}{2\pi a^2} {\sum_{-\infty}^{\infty}}’ \ff{1-e^{2\pi mp}}{m^2}
\end{split} \qquad(7)
$$
$0 \leq \A \leq 2\pi$ のとき、以下のことが示される。
$$
\begin{split}
{\sum_{-\infty}^{\infty}}’ \ff{e^{i m \A}}{m^2} = \ff{\pi^2}{3}-\ff{1}{2}\A(2\pi-\A)
\end{split}
$$
(7) の複素共役をとり、時間に関して微分すると、$0 \leq p \leq 1$ の範囲で以下が得られる。
$$
\begin{split}
\ff{\diff^2 \zeta}{\diff t^2} = \sigma^2 \zeta,\quad \RM{where}\,\,\, \sigma = \ff{\kappa \pi}{a^2} p(1-p)
\end{split} \qquad(8)
$$
このように擾乱は時間とともに指数関数的に増大し、その増大率は $p = 1/2$ のときに最大となる。つまり、対不安定性が最も最大となる。$p$ が非常に小さい場合、擾乱の波長 $\lambda$ はおよそ $a/p$ と、以下のオーダーとなる。（§8.2「渦シートの安定性」の結果と比較せよ）
$$
\begin{split}
\sigma \sim \pi \kappa a \lambda
\end{split} \qquad(9)
$$
$ \zeta∝e^{\sigma t}$のとき、(7)式から $\zeta―i\bar{\zeta}=0$、すなわち $x_0’=y_0’$ となる。(4)式から、 $m=0$ 渦近傍の擾乱を受けていない列の局所速度場は $\kappa \pi/ 6a^2\, (y,x)$ となる。したがって、擾乱が固有値の増加に対応するとき、渦は正の主ひずみ速度の方向に移動することが言える。
$p = 1/2$ のとき、列の有限振幅発展に対する厳密解が存在する。隣接する渦列の座標を $z_0(t), z_1(t)$ とする。2つの列があり、それぞれの渦列は $z=z_0+2ma, z=z_1+2ma, -\infty<m<\infty$ である。単列の複素ポテンシャルに関する式 (1) から、複素ポテンシャルは次の式で表される。
$$
\begin{split}
w = -\ff{i\kappa}{2\pi}\log \sin \ff{\pi(z-z_0)}{2a}-\ff{i\kappa}{2\pi} \log \sin \ff{\pi(z-z_1)}{2a}
\end{split} \qquad(10)
$$
さらに、対称性から $z_0+z_1 = a$ と言えるので、
$$
\begin{split}
\ff{\diff \bar{z}_0}{\diff t} = -\ff{i\kappa}{4a}\cot \ff{\pi}{2a}(z_0-z_1)
\end{split} \qquad(11)
$$
ここで、$z_1-z_0 = a-2z_0, \zeta = z_1-z_2$ と書くと約束すると、2つの渦の相対変位は、(11)式より、
$$
\begin{split}
\ff{\diff \bar{\zeta}}{\diff t} = -\ff{i\kappa}{4a}\cot \ff{\pi \zeta}{2a}
\end{split} \qquad(12)
$$
この方程式は閉じた形で積分できるが、相対軌道を決定するより簡単な方法は、(12)式が、距離 $2a$ 離れた等間隔の渦列の速度場における、流体粒子の軌跡を表す方程式であることに留意することである（C. Williamson [1989 私信]）。したがって、相対位置は、複素ポテンシャル $\DL{ -\ff{i\kappa}{\pi}\log\,\sin\ff{\pi \zeta}{2a}} $ を持つ速度の流線上にあり、すなわち、
$$
\begin{split}
\left| \sin \ff{\pi \zeta}{2a} \right| = \RM{constant}
\end{split} \qquad(13)
$$
極限軌道（ヘテロクリニック軌道）では、その定数は $1$ であり、軌跡は、
$$
\begin{split}
\sinh \ff{\pi \eta}{2a} = \cos \ff{\pi \xi}{2a}
\end{split} \qquad(14)
$$
最接近距離は、$\xi=0$ のとき、$\DL{ \ff{2a}{\pi}\sinh^{-1} 1 = 0.56a }$ となる。二重無限配列の安定性は、Tkachenko [1966] によって研究された。渦が無限三角格子の頂点にある配置は微小な擾乱に対して安定であるが、正方格子や六角形（ハニカム）格子は不安定であることが示されている（Aref et al. [1988] を参照）。
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