3.5 角運動量インパルス（Angular impulse）

　静止状態から運動を生成する衝撃的力のモーメントは、角運動量インパルスと呼ばれる。これを $\B{A}$ で表すと（※ $\B{x}=\B{r}=|r|$ と表記の揺れアリ）：

\begin{split}
\B{A}=\int \B{x}\times \B{f}\,\diff V = -\ff{1}{2}\int r^2\,\rot\B{f}\diff V-\ff{1}{2}\int r^2(\B{n}\times\B{f})\diff S \qquad(1)
\end{split}

　式(3.6)を用いて、$\rot\B{f}$ を置き換え、また、有限な力分布に対して、右辺第２項の面積分が消失することに注意すると：

\begin{split}
\B{A}= -\ff{1}{2}\int r^2\,\B{\om}\diff V \qquad(2)
\end{split}

　角運動量インパルスについても、その無境界流れにおける変化率が、外部の非保存的力のモーメントであるという意味で運動の不変量となる。式(1.5.5)用いて次のことを示すのは容易である。

\begin{split}
\ff{\diff \B{A}}{\diff t } &= -\ff{1}{2}\int r^2\,\ff{\del \B{\om}}{\del t} \diff V \EE
&= \int \B{x} \times \B{F}\,\diff V+\ff{1}{2}\int \big[ r^2(\B{n}\times \B{F})+r^2\B{n}\times (\B{u}\times \B{\om}) \big]\diff S \EE
&\qquad -\ff{1}{2}\int \left[ \ff{1}{2} \B{u}^2(\B{x}\times \B{n})-\B{x}\times \B{u}(\B{u}\cdot \B{n}) \right] \diff S \qquad(3)
\end{split}

　無限遠まで考えると、第2項と3項の面積分が消失するので：

\begin{split}
\ff{\diff \B{A}}{\diff t } &= \int \B{x} \times \B{F}\,\diff V \qquad(4)
\end{split}

これの表現(2)は、Lamb [1932 §152]によって与えられた。これの代替形式：

\begin{split}
\B{A} = \ff{1}{3}\int \B{x}\times (\B{x}\times \B{\om}) \diff V \qquad(5)
\end{split}

はBatchelor [1967 §7.2]により与えられた。次のことも示せる。

\begin{split}
\ff{1}{3}\int \B{x}\times (\B{x}\times \B{\om}) \diff V+\ff{1}{2}\int r^2\B{\om}\diff V=-\ff{1}{6}\int r^2\B{x}(\B{\om}\cdot\B{n})\diff S \qquad(6)
\end{split}

　これから、境界で $\B{\om}·\B{n} = 0$ の場合、二つの定義は等価となる。流体の角運動量は一般的に発散積分であり、$\B{f}$ を $\B{u}$ に置き換えると式(1)の恒等式から：

\begin{split}
\int \B{x}\times \B{u}\,\diff V = \B{A}-\ff{1}{2}\int r^2(\B{n}\times \B{u})\diff S \qquad(7)
\end{split}

　しかし、すべての渦度を含む球 $S$ である場合、面積分は消失する。なぜなら、その場合 $r^2=const.$ で：

\begin{split}
\int \B{n}\times \B{u}\diff S = \int \B{\om}\diff V = \int \B{x}(\B{\om}\cdot\B{n} )\diff S=\B{0} \qquad(8)
\end{split}

　この場合、角運動量インパルスは、すべての渦度を含む球状流体領域の角運動量となる。これは圧力が球に対してトルクを及ぼさないことからも理解される。