いま、強さが $\kappa_1, \dots, \kappa_N$ である $N$ 本の線状渦が、ある領域内の位置 $z_1, \dots, z_N$ に存在するとする。この領域は、静止しているか、あるいは与えられた運動をしている固定境界に囲まれているものとする。（ここでは、圧力が指定されている自由表面や、他の関係式を満たす自由境界は除外するとする）
このとき、複素ポテンシャル $w$ は次の形をとる。
$$
\begin{split}
w = f(z)+\sum_{j=1}^N \kappa_j G(z;z_j) = \phi+i\psi
\end{split} \qquad(1)
$$
ここに、$f(z)$ は境界の運動または周期条件によって生じる非渦的（irrotational）流れを表す解析関数である。また $G(z; z_j)$ は、$\mathscr{F}(G) = 0$ を全ての境界表面で満たすような一意な複素グリーン関数である。
$$
\begin{split}
g(z;z_j) = G(z;z_j)+\ff{i}{2\pi}\log (z-z_j)
\end{split} \qquad(2)
$$
上式は、領域における $z$ の解析的かつ一価関数である。$g(z;z_j)$ は、第2変数 $z_j$ に関して一般に解析的ではないことに注意されたい。しかしながら、次の相反性の性質が成り立つ。
$$
\begin{split}
\mathscr{F}g(z;z_j) = \mathscr{F}g(z_j;z)
\end{split} \qquad(3)
$$
次に、$\mathscr{F}G(z;z_1) = \phi_1(z),\,\, \mathscr{F}G(z;z_2) = \phi_2(z)$ について見てみよう。このとき、$\phi_1$ と $\phi_2$ は一価の調和関数であるゆえ、
$$
\begin{split}
\oint \left( \ff{\del \phi_1}{\diff n}\phi_2-\ff{\del \phi_2}{\diff n}\phi_1 \right)\diff s = 0
\end{split}
$$
$z_1$ と $z_2$ の周りの境界と微小円からなる回路を選ぶ。このとき、$\phi_1(z) = \phi_2(z)$ となる。関数 $g$ は、$z_j$ における渦の境界上の像によって誘起される複素ポテンシャルと考えることができる。もし有界でなければ、$g=0$ であって以下が成立する。
$$
\begin{split}
G(z;z_j) = -\ff{i}{2\pi}\log(z-z_j)
\end{split} \qquad(4)
$$
今、$j$ 番目の渦の速度 $(u_j, v_j)$ について考えてみよう。つまり、(1)式を $z=z_j$ において $z$ に関して微分すると、
$$
\begin{split}
\kappa_j(u_j-iv_j) = \kappa_j\,f'(z_j)+{\sum_{k=1}^N}’ \,\kappa_j\kappa_k\,\ff{\del G}{\del z_j}(z_j;z_k)+\kappa_j^2 \left.\ff{\del}{\del z} g(z;z_j) \right|_{z=z_j}
\end{split} \qquad(5)
$$
ここに $\DL{{\sum}’}$ は $k=j$ となる項を省くことを意味している。さらに、$\Psi(x_1,y_1,\cdots,x_N,y_N)$ をこのように定義する。
$$
\begin{split}
\Psi = \mathscr{F} \left[ \sum_j \kappa_j\, f(z_j)+\ff{1}{2}{\sum\sum}_{j\neq k} \kappa_j\kappa_k G(z_j;z_k)+\sum_{j}\ff{\kappa^2_j}{2}g(z_j;z_j) \right]
\end{split} \qquad(6)
$$
さらに、$\mathscr{G}$ の対称性から次のことが分かる。
$$
\begin{split}
\kappa_j (u_j-iv_j) = \ff{\del \Psi}{\del y_j}+i\ff{\del \Psi}{\del x_j}
\end{split} \qquad(7)
$$
この $\Psi$ は、流れ関数に相当する多次元スカラー関数であり、キルヒホッフ・ルースの経路関数（Kirchhoff–Routh path function） と呼ばれる。物理的には、これが渦系のハミルトニアン（Hamiltonian）として振る舞う。もし領域が無限であれば、以下の様になり、
$$
\begin{split}
\Psi = -\ff{1}{4\pi}{\sum\sum}_{j\neq k} \kappa_j\kappa_k \log|z_j-z_k|
\end{split} \qquad(8)
$$
一般に、境界が時間とともに動く場合は、$f, G, g$ も時間の関数となる。一方、境界が固定されている場合は、(7)からこのようになる。
$$
\begin{split}
\ff{\diff}{\diff t} \Psi = \sum_{j} \left( \ff{\del \Psi}{\del x_j}\ff{\del x_j}{\del t}+\ff{\del \Psi}{\del y_j}\ff{\del y_j}{\del t} \right) = 0
\end{split} \qquad(9)
$$
したがって、$\Psi$ は固定境界における運動の不変量である。この場合、$N = 1$ のとき、関数 $\Psi(x,y)$ はキルヒホッフ・ルースの経路関数と呼ばれ、渦の軌跡は $\Psi = const.$ で与えられる。式(7)はハミルトン形式となる。したがって、変数を次の様に定義する（和は不要）。
$$
\left\{
\begin{split}
&\, q_j = \sqrt{\kappa_j}\,x_j, \quad p_j = \sqrt{\kappa_j}\,y_j, \quad \kappa_j > 0 \qquad\qquad(10) \EE
&\, q_j = \sqrt{-\kappa_j}\,x_j, \quad p_j = \sqrt{-\kappa_j}\,y_j, \quad \kappa_j < 0 \,\qquad(11)
\end{split}
\right.
$$
このようにすると、(7)式をこのように書くことができて、
$$
\left\{
\begin{split}
&\, \ff{\diff \B{q}}{\diff t} = \ff{\del H}{\del \B{p}} \EE
&\, \ff{\diff \B{p}}{\diff t} = -\ff{\del H}{\del \B{q}} \EE
&\, H = \Psi(\B{p}, \B{q})
\end{split} \qquad(12)
\right.
$$
渦の座標は、ハミルトニアン $H$ を持つ動的システムの位相空間構成と言える。境界が静止している場合、$\DL{\ff{\del H}{\del t}=0}$となり、$H$ はエネルギーの有限部分と同一視できる。これを理解するには、固定境界の場合、$f(z)=0$ であり、流れ関数 $\psi(x,y)$ は次のように与えられることに注意されたい。
$$
\begin{split}
\psi(x,y) = \sum_{j=1}^N\, \kappa_j\psi_j
\end{split} \qquad(13)
$$
ここに、
$$
\begin{split}
\psi_j = -\ff{1}{2\pi}\log r_j+\mathscr{F}g(z;z_j) = \mathscr{F}G(z;z_j)
\end{split} \qquad(14)
$$
である。さらに、$r_j$ は $j$ 番目の渦までの距離を表している。そのときの運動エネルギー $K.E.$ はこのようになる。
$$
\begin{split}
K.E. = \lim_{\eps\to 0} \ff{1}{2}\int_{ |z-z_j|>\eps } \big( \nabla \psi \big)^2\, \diff S = \lim_{\eps\to 0} -\ff{1}{2} \sum_{j} \oint_{ |z-z_j|=\eps } \psi\,\ff{\del \psi}{\del n}\,\diff s
\end{split} \qquad(15)
$$
これに(14)を代入し、$g$ が有限のため、$\DL{\ff{\del \psi_j}{\del n} = -\ff{1}{2\pi}\eps+O(1) } $ かつ $\DL{\oint \diff s = 2\pi \eps}$ となることを思い出すと、以下が得られる。
$$
\begin{split}
K.E. &\sim \ff{1}{2}\sum \sum_{j\neq k} \kappa_j \kappa_k \mathscr{F} G(z_j;z_k)-\ff{1}{2}\sum_{j} \kappa^2_j \lim_{\eps\to 0} \oint \psi_j \ff{\del \psi}{\del n}\diff s \EE
&\sim -\sum \ff{\kappa^2_j}{4\pi}\log \eps+\ff{1}{2}\sum\sum_{j\neq k} \kappa_j \kappa_k \mathscr{F} G(z_j;z_k) + \ff{1}{2}\sum_{j} \kappa^2_j \mathscr{F} G(z_j;z_k) \EE
&= \Psi- \log \eps \sum \ff{\kappa^2_j}{4\pi}
\end{split} \qquad(16)
$$
有界でない場合、$g=0$ となり、半径 $R$ の無限遠円からの発散寄与 $\DL{ \left( \sum \kappa_j \right)^2 \log \ff{R}{4\pi} }$ が加わる。その他の不変量は、線形なインパルス $\B{I}$ と角運動量インパルス $\B{A}$ となる。
$$
\begin{split}
\B{I} &= \int \om \B{r}\times \B{k}\,\diff S = \int (\om y-\om x)\diff S \EE
&=\left( \sum \kappa_j y_j-\sum \kappa_j x_j \right) \,\,\qquad\qquad\qquad\qquad (17) \EE
\B{A} &= -\ff{1}{2}\int \om r^2\, \diff S = -\ff{1}{2}\sum \kappa_j(x_j^2+y_j^2) \qquad(18)
\end{split}
$$
これらの不変量は通常通りの振る舞いをする。例えば、有限個の $N$ 個の渦の群に対してはこのように振舞う。
$$
\begin{split}
\ff{\diff \B{I}_N}{\diff t} &= \int \om\,\B{u}_E\times \B{k}\,\diff S = \left( \sum_{j=1}^N \kappa_j v_E(\B{r}_j)-\sum_{j=1}^N \kappa_j u_E(\B{r}_j) \right) \qquad(19) \EE
\ff{\diff A_N}{\diff t} &= \B{k}\cdot \int \om\, \B{r}\times (\B{u}_E\times \B{k})\diff S = -\sum_{j=1}^N \kappa_j \big(\B{r}_j\cdot \B{u}_E(\B{r}_j) \big) \qquad\quad(20)
\end{split}
$$
ここに、$\B{u}_E(r)$ は外部速度、すなわち $N$ 個の渦が作るビオ・サバールの法則からの寄与を差し引いた実際の速度場である。（渦の像は $\B{u}_E$ に寄与する）非境界流体では、$\B{u}_E =\B{0}$ であり、$\B{I}$ と $A$ は定ベクトル・定数となる。
全渦度がゼロでない場合、つまり $\DL{ \sum_{j}\kappa_j \neq 0 }$ の場合、2次元の重心を次のように定義できる（§3.10参照）。
$$
\left\{
\begin{split}
\bar{x} &= \ff{\sum \kappa_j x_j}{\sum \kappa_j} \EE
\bar{y} &= \ff{\sum \kappa_j y_j}{\sum \kappa_j}
\end{split} \qquad(21)
\right.
$$
ここで、我々は重心に関する角運動量インパルス $A_G$ をこのように定義することにする。
$$
\begin{split}
A_G = -\ff{1}{2}\sum_j \kappa_j \big[ (x_j-\bar{x})^2+(y_j-\bar{y})^2 \big]
\end{split} \qquad(22)
$$
このとき、時間微分をとると、
$$
\begin{split}
\ff{\diff A_G}{\diff t} = -\sum_j \kappa_j(\B{r}_j-\bar{\B{r}})\cdot \big(u_E(\B{r}_j)-\bar{\B{u}} \big)
\end{split} \qquad(23)
$$
ここで、$\DL{\bar{\B{u}} = \left(\ff{\diff \bar{x}}{\diff t}, \ff{\diff \bar{y}}{\diff t} \right)}$ は重心の速度を表す。そして、式(23)は重心周りの渦力のモーメントとなる。これがゼロの場合、$A_G = const.$ となる。
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