5.4 加速している非回転流中の物体に作用する力（Force on a body in an accelerated irrotational stream）

　物体に対する流体の速度を、

$$
\begin{split}
\B{u}_E = \B{u}^{(0)}(t)+\B{u}^{(1)}(\B{x},t) \approx \B{u}^{(0)}(t)+\B{\A}(t):\B{x}
\end{split}
$$

とする。束縛渦度の分布は、

$$
\begin{split}
\B{\om} = \B{\om}^{(0)}+\B{\om}^{(1)}
\end{split}
$$

であって、束縛渦度のインパルス $\B{I}_V$ は(3.6)で与えられる。我々は、

$$
\begin{split}
\ff{\diff \B{I}_V}{\diff t} = \int \B{F}\,\diff V_B+\int \B{u}_E\times \B{\om}\,\diff V_B
\end{split}\qquad(1)
$$

を持ち、ここに $\B{F}$ は渦度を束縛する力である。すると、

$$
\begin{split}
\int \B{F}\,\diff V_B = -\B{M}:\B{\dot{u}}^{(0)}-V\B{\dot{u}}^{(0)}+\B{\A}:\B{I}_V+O(\A^2)
\end{split}\qquad(2)
$$

次に、$\B{D}$ を流体が物体に加える力とすると、

$$
\begin{split}
\int \B{F}\,\diff V_B = -\B{D}+V\B{\dot{W}}
\end{split}\qquad(3)
$$

ここで、$\B{W}$ は慣性座標系に対する物体の速度である。瞬間慣性座標 $\B{x}’ = \B{x} + \B{W}t$ に対して、流体の速度は、

$$
\begin{split}
\B{u}^{(0)}+\B{\A}:(\B{x}’-\B{W}t)+\B{W}
\end{split}\qquad(4)
$$

さらに、(3)と(2)より次が成り立つ：

$$
\begin{split}
\B{D} = \B{M}:\B{\dot{u}}^{(0)}+V(\B{\dot{W}}+\B{\dot{u}}^{(0)})+\B{\A}:(\B{M}:\B{u}^{(0)}+V \B{u}^{(0)} )
\end{split}\qquad(5)
$$

物体が静止流体中で加速する場合、$\A = 0$ で $\B{u} = -\B{W}$ なので、前の結果を回復する。さらに、(4)から物体近傍の圧力勾配は、

$$
\begin{split}
-\nabla p &= \B{\dot{u}}^{(0)}+\B{\dot{W}}-\B{\A}:\B{M}+(\B{u}^{(0)}+\B{W}):\B{\A} \EE
&= \B{\dot{u}}^{(0)}+\B{\dot{W}}+\B{\A}:\B{\dot{u}}^{(0)}
\end{split}\qquad(6)
$$

したがって、物体の体積 $V$ を含む抗力 $\B{D}$ の式(5)の項は、静水圧力の観点から解釈できる。