3.6 粘性の効果（Effect of viscosity）

　無境界な流体では、$\B{I}$ と $\B{A}$ の不変性は粘性の存在下でも成立する。ここで、一様密度の流体に対するナビエ・ストークス方程式は：

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{u}}{\del t} = -\nabla p+\nu \nabla^2 \B{u}+\B{F} \qquad(1)
\end{split}
$$

となるが、上式より、粘性の作用は追加の物体力 $\nu \nabla^2 \B{u}$ と見なせる。つまり、

$$
\begin{split}
\int \nu\,\nabla^2 \B{u}\diff V = -\int (\B{n}\cdot \nabla)\B{u}\,\diff S \qquad(2)
\end{split}
$$

であり、そして、

$$
\begin{split}
\int \B{x}\times \nabla^2\B{u}\,\diff V = -\int\B{\om}\,\diff V-\int \B{x}\times (\B{n}\cdot \nabla)\B{u}\,\diff S \qquad(3)
\end{split}
$$

であると言える。

　右辺は、$\B{u} = O(r^{-3})$ のオーダーなので、積分が全空間上である場合には消滅し、粘性力が流体力学的インパルスと角インパルスの変化率に影響しないことが言える。ただし、$\DL{ \int \B{\om}\diff V }$ は二次元流れでは必ずしもゼロではない。そのため、この場合 $\B{A}$ は粘性の存在下では不変でない可能性がある（§10参照）。